Suite de fibonacci et recurence

[Rams71]

Bonjour a tous

Voila je suis nouveau sur ce forum , je me suis inscrit pour vous demander de l'aide , en effet jai du mal a répondre a 3 question de mon DM , si quelqu'un pourait m'éclairer ce serai pa mal ^^

Alors voila mon DM porte sur la célèbre suite de fibonacci ( avec les lapin ), voici l'intitulé :

Notons Fn le nombre de couples de lapins au mois n. On a F0. jusqu'a la fin du deuxième mois , la population se limite a un couple ( F1 = F2 = 1). En revanche , dès le début du troisième mois , nos lapin ont deux mois et ils engendrent un autre couple de lapin : F3 = 2 . Plaçons-nous maintenant au mois n et cherchons a exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard n+2: F(n+2) = F(n+1) + Fn

1) Expliquer pourquois pour tout n ;) 2 , On a F(n+2) = F(n+1) + Fn

2) Soit (Un) une suite géométrique non nulle de raison r non nulle vérifiant pour tout n € N : U(n+2)= U(n+1) + U(n)

Montrer que r vérifient la relation (1) r²=r+1 et en déduire que r = (1+;)5)/2 ou r= (1-;)5)/2

3) En utilisant la relation r²=r+1 , montrer que pour tout n € IN on a ;)^n+2 = ;)^n (;)+1)
;)^n+2= ;)^n (;)+1)
En déduire par récurence sur n que pour tout n € lN , On a
Fn= (1/;)5)(;)^n - ;)^n )


;) = ( 1+5)/2 ET ;) = ( 1 -5) / 2

Merçi de prendre le temps de m'aider

[Ben314]

Bonsoir,
La réponse est assez simple, tu as dù montrer précédement que ;) et ;) vérifiaient tout les deux la relation r²=r+1, c'est à dire que ;)²=;)+1 et ;)²=;)+1.

Tu écrit ensuite ;)^(n+2)=;)^n.;)^2=;)^n(;)+1)... (idem pour ;))

Pour la récurrence, tu procède ... comme pour toute récurrence...