Suite DM dérivation

[cl3mss]

Me revoila! :)
Donc voici mon exercice n°5:
On s’intéresse aux solutions dans [-pi;3pi] de l'équation trigonométrique 2cos²t + cos t - 1=0.

1. Sur R, factoriser le trinôme T(X)= 2X² + X - 1.

2. Exprimer alors l'expression algébrique suivante en fonction du trinôme T: f(T)= 2 cos²t + cos t - 1.

3. En déduire que f(t)=0 <-> cos t= 1/2 ou cos t= -1

4. Résoudre dans R puis dans [-pi;3pi] les équations suivantes: a) cost = 1/2 b) cos t= -1

5. Conclure.


Voila :/

[annick]

Re bonjour,
comment envisages-tu de factoriser ?

[cl3mss]

Re bonjour,
comment envisages-tu de factoriser ?

Je ne sais pas...

[annick]

Tu cherches à résoudre 2X² + X - 1=0

Donc soit tu vois une solution évidente et tu factorises par cette solution, soit tu résous l'équation du second degré de manière classique.

[cl3mss]

Tu cherches à résoudre 2X² + X - 1=0

Donc soit tu vois une solution évidente et tu factorises par cette solution, soit tu résous l'équation du second degré de manière classique.

Donc delta:
1²+8=9 Delta positif donc 2 racines:
X1: -1
X2: 1/2

[cl3mss]

Tu cherches à résoudre 2X² + X - 1=0

Donc soit tu vois une solution évidente et tu factorises par cette solution, soit tu résous l'équation du second degré de manière classique.

Ah oui mais la factorisation je l'avais déjà faite en cours! Avec ma prof.. il ne me reste que les 4 autres questions :/

[annick]

D'accord.
Donc cela veut dire que tu peux écrire :
2X² + X - 1=2(X+1)(X-1/2)

[cl3mss]

D'accord.
Donc cela veut dire que tu peux écrire :
2X² + X - 1=2(X+1)(X-1/2)

Oui c'est ce que j'avais trouvé

[annick]

Tu vois ensuite l'analogie entre 2cos²t + cos t - 1 et 2X² + X - 1;

Donc comment peux-tu exprimer 2cos²t + cos t - 1 en produit de facteurs ?

Que faut-il pour que ce produit de facteurs soit nul ?

[cl3mss]

Tu vois ensuite l'analogie entre 2cos²t + cos t - 1 et 2X² + X - 1;

Donc comment peux-tu exprimer 2cos²t + cos t - 1 en produit de facteurs ?

Que faut-il pour que ce produit de facteurs soit nul ?

donc 2(cos+1)(cos-1/2) ?


Pour que ce produit de facteur soit nul il faut qu'il y ait un des facteurs =0

[annick]

Oui, c'est cela.

[cl3mss]

Oui, c'est cela.

Mais alors pourquoi me met-elle " cost= 1/2 ou cost=-1 " ?

[annick]

2(cost+1)(cost-1/2)=0 donc

cost=-1 ou cost=1/2.

[cl3mss]

2(cost+1)(cost-1/2)=0 donc

cost=-1 ou cost=1/2.

D'accord très bien oh oui suis je bête ^^ donc ensuite:
4. Résoudre dans R puis dans [-pi;3pi] les équations suivantes:
a- cost= 1/2
b- cost=-1

[annick]

Quels sont les angles dont le cosinus vaut 1/2 ? -1 ? Il faut que tu t'aides du cercle trigonométrique pour arriver à trouver tous les angles entre -pi et 3 pi.

Il faudrait aussi que tu fasses un petit effort pour essayer d'avancer par toi même : tu es au lycée et on attend de toi que tu prennes certaines initiatives et que tu n'aies plus besoin d'une béquille tout le temps. A un moment, il faut se lancer.

[cl3mss]

Quels sont les angles dont le cosinus vaut 1/2 ? -1 ? Il faut que tu t'aides du cercle trigonométrique pour arriver à trouver tous les angles entre -pi et 3 pi.

Il faudrait aussi que tu fasses un petit effort pour essayer d'avancer par toi même : tu es au lycée et on attend de toi que tu prennes certaines initiatives et que tu n'aies plus besoin d'une béquille tout le temps. A un moment, il faut se lancer.

Oui mais je n'ai simplement pas confiance en moi et je perds très vite mes moyens. Mais ce problème, j'essaie de le régler depuis ma Seconde...

Pour la 4, les angles sont : pour cos t=1/2, c'est pi/3 et cos t=-1 , c'est pi ou -pi...

[annick]

Je me doute bien que c'est ton problème, mais je t'assure, tu as de bonnes idée alors tu peux te lancer. Et puis dis-toi bien que si tu vas à l'école c'est pour apprendre et que si tu ne faisais jamais d'erreurs, ce ne serait pas utile que tu ailles en classe. Il est plus profitable de se lancer, quitte à faire des erreurs dont on apprendra toujours quelque chose, plutôt que de rester au bord et de ne pas avancer;

bien, bien, revenons à notre problème.

Ta réponse est juste mais incomplète.

Les deux angles qui ont un cosinus de 1/2 sont -pi/3 et +pi/3. Mais entre -pi et 3 pi, tu tournes plusieurs fois sur le cercle trigonométrique. Donc tu dois tourner jusqu'à ce que tu atteignes 3pi :

-pi/3, pi/3, -pi/3+2pi=5pi/3, pi/3+2pi=7pi/3, 5pi/3+2pi=11pi/3, 7pi/3+2pi=13pi/3, 11pi/3+2pi=17pi/3, 13pi/3+2pi=19pi/3 (celui là est trop grand car >18pi/3=3pi).

Donc les solutions sont celles écrites en rouge

Il faut maintenant que tu fasses pareil pour cost=-1
Le premier c'est -pi, puis pi, puis...