[1èreS] Suite définie par U(n+2)=a*U(n+1)+b*U(n)

[Anonyme]

Bonsoir,

Je suis quelque peu bloqué face l'exercice suivant :

"(Un) est la suite définie par U(0)=1 ; U(1)=2
et pour tout naturel n, U(n+2) = 1,5*U(n+1) - 0,5*U(n)
1) a/ Démontrer que la suite (Vn) définie par V(n) = U(n+1) - U(n)
est une suite géométrique
b/ Exprimez V(n) en fonction de n
2) a/ Montrez que V(0) + ... + V(n-1) = U(n) - U(0)
En déduire U(n) en fonction de n
b/ Quelle est la limite de la suite (Un) ?
3) Déterminez le plus petit entier p tel que :
| U(n) - 3 | < 10^-5 pour tout entier n?p"

J'ai trouvé (je pense) quelques réponses :

1) a/ V(n+1) = 0,5*(U(n+1) - U(n))
Soit V(n+1) = 0,5*V(n) Donc (Vn) est géométrique de raison q = 0,5
b/ V(0) = 1 Donc V(n) = 0,5^n

2) a/ La première partie de cette question-ci me bloque.
Pour exprimer (Un), j'imagine qu'il faut exprimer
V(0) + ... + V(n-1) en fonction de n et y soustraire
U(0) pour trouver U(n) = -2/(2^n) + 1
b/ Il me semble dans ce cas logique que lim (Un) = 1

3) Je suis ici coincé par le fait qu'il faut prendre en compte la valeur absolue de U(n) - 3, sans quoi je pense que j'aurais pu réussir en
ajoutant 3 et en utilisant l'expression de (Un) ...

Voilà, Merci d'avance à ceux qui répondront ...
Bonne (fin de) journée

[prody-G]

salut

Pour montrer que
tu écris donc et tu remplaces chaque terme de la suite par son expression en fonction . Et après tu vois que ça se simplifie, c'est le principe du télescopage.
Pour ce que tu as fait dans la 2)a il faut que tu remarques que est la somme des termes d'une suite géométrique. Donc
donc

[annick]

Bonsoir,
Ta première question est juste
Pour a deuxième,si tu additionnes V0+V1+.....V(n-1)=U1-U0+U2-U1+...Un-U(n-1)=Un-U0 (excuse mes notations d'indices, mais je fais ça vite)
Ensuite, sachant que la suite est géométrique tu connais la formule de la somme des (n-1) premier termes, tu connais U0, tu peux donc en déduire Un qui doit être du genre 3-(0,5)^n
Ce qui t'arrange bien pour la question avec la valeur absolue, puisque les 3 s'éliminent
Bon courage pour continuer

[prody-G]

moi je trouve ...

[annick]

oups, un oubli à la frappe, je suis d'accord avec toi Prody. Désolée

[Anonyme]

Oh, merci beaucoup
à tous les deux,
j'ai enfin, grâce à vous, bien compris
comment tout cela se tient !
Merci encore,
et bonne (fin de) journée !