[TS] Suite définie par une somme

[Vladdygde]

Bonjour !
J'ai une série d'exercices à résoudre, et je bloque sur le dernier... L'énoncé est le suivant :

Soit la suite définie par : . a) Montrer que la suite est croissante b) Montrer que la suite est majorée c) Conclure

Voici ce que j'ai fait jusqu'à maintenant :

a) Montrons que est croissante.


D'une part :

Et :

Donc : , ce qui équivaut à : soit

Ainsi, est croissante.

______________________________________________

b) Montrons que est majorée, càd :
Je choisis d'écrire cette suite sous la forme d'une somme :

Je calcule les premiers termes de la suite :

J'émets la conjecture suivante : la suite est majorée par 1, càd :

C'est ici que je commence à faire des choses dont je ne suis pas sûr, où je commence à bidouiller ! :ptdr:

Je dis que est le plus grand terme de cette somme, et que par conséquent, si alors ... Est-il correct d'affirmer cela ? :hein:

En prenant ceci comme hypothèse, j'en déduis :


Donc et donc :

Ainsi, la suite est majorée par 1.

______________________________________________

c) Conclure
Je sais que la suite est majorée par 1 et qu'elle est croissante, j'en déduis qu'elle converge vers un réel l soit :


Et ici, je me retrouve complètement bloqué... Je n'ai aucune idée de comment déterminer la limite de cette suite ! Habituellement, en cours, notre professeur nous fait faire un "passage à la limite", je ne sais pas si c'est l'expression adéquate, voici ce que j'entends par-là :

Soit une suite définie par

Après avoir montré que cette suite était bornée : et qu'elle était croissante, j'en déduis qu'elle converge.

La limite d'une suite est unique :

Passage à la limite : donc donc

Cette méthode s'applique très bien aux suites définies par récurrence, mais ici je n'arrive pas à l'appliquer...

De l'aide serait la bienvenue, merci d'avance ! :we:

[Carpate]

Bonjour !
J'ai une série d'exercices à résoudre, et je bloque sur le dernier... L'énoncé est le suivant :


Voici ce que j'ai fait jusqu'à maintenant :

a) Montrons que est croissante.


D'une part :

Et :

Donc : , ce qui équivaut à : soit

Ainsi, est croissante.

______________________________________________

b) Montrons que est majorée, càd :
Je choisis d'écrire cette suite sous la forme d'une somme :

Je calcule les premiers termes de la suite :

J'émets la conjecture suivante : la suite est majorée par 1, càd :

C'est ici que je commence à faire des choses dont je ne suis pas sûr, où je commence à bidouiller ! :ptdr:

Je dis que est le plus grand terme de cette somme, et que par conséquent, si alors ... Est-il correct d'affirmer cela ? :hein:

En prenant ceci comme hypothèse, j'en déduis :


Donc et donc :

Ainsi, la suite est majorée par 1.

______________________________________________

c) Conclure
Je sais que la suite est majorée par 1 et qu'elle est croissante, j'en déduis qu'elle converge vers un réel l soit :


Et ici, je me retrouve complètement bloqué... Je n'ai aucune idée de comment déterminer la limite de cette suite ! Habituellement, en cours, notre professeur nous fait faire un "passage à la limite", je ne sais pas si c'est l'expression adéquate, voici ce que j'entends par-là :

Soit une suite définie par

Après avoir montré que cette suite était bornée : et qu'elle était croissante, j'en déduis qu'elle converge.

La limite d'une suite est unique :

Passage à la limite : donc donc

Cette méthode s'applique très bien aux suites définies par récurrence, mais ici je n'arrive pas à l'appliquer...

De l'aide serait la bienvenue, merci d'avance ! :we:

Remarque que l'on ne te demande pas de trouver la valeur de cette limite mais seulement de montrer que la suite admet une limite.
N'y a-t-il pas d'autres indications dans l'énoncé pour la trouver ?

[Vladdygde]

Remarque que l'on ne te demande pas de trouver la valeur de cette limite mais seulement de montrer que la suite admet une limite.
N'y a-t-il pas d'autres indications dans l'énoncé pour la trouver ?

Merci de m'avoir répondu !
Eh bien, si on me demande juste de montrer que la limite existe, je l'ai fait non ? En montrant que la suite converge, je dis qu'elle admet une limite réelle l.
À moins qu'il ne s'agisse d'une question rhétorique, non... J'ai recopié l'intégralité de mon court énoncé !

[nodjim]

Dès le départ, ta démo de la croissance de u(n) est incorrecte, même si la conclusion est bonne.
u(n+1)=1/(n+2)+...1/2(n+1)
u(n+1)-u(n) vaut alors 1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)

[Vladdygde]

Dès le départ, ta démo de la croissance de u(n) est incorrecte, même si la conclusion est bonne.
u(n+1)=1/(n+2)+...1/2(n+1)
u(n+1)-u(n) vaut alors 1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)

Merci de me l'avoir fait remarquer, je corrige cela immédiatement !

[nodjim]

Pour la démo de la majoration, on remarque qu'il y a n termes dans u(n). C'est donc encadré par:
n/2n=1/2 <= u(n) < n/(n+1) < 1 .

[nodjim]

Pour la conclusion, je dirais comme Carpate: la suite converge.

[Vladdygde]

Voilà, j'ai corrigé la démonstration sur la croissance de la suite, j'espère que c'est la bonne ! (Je suis désolé, c'est plutôt indigeste...)

Montrons que est croissante.


















Or : donc donc

Donc la suite est croissante.

Pour la démo de la majoration, on remarque qu'il y a n termes dans u(n). C'est donc encadré par:
n/2n=1/2 <= u(n) < n/(n+1) < 1 .

Je ne comprends pas ton raisonnement... L'écriture sous forme de somme met bien en valeur que la suite comporte n termes, mais je ne comprends pas comment tu en déduis l'encadrement :mur:

[nodjim]

La suite est supérieure à n fois le plus petit terme (1/2n) et inférieure à n fois le plus grand terme (1/(n+1)).

[Carpate]

Je ne comprends pas ton raisonnement... L'écriture sous forme de somme met bien en valeur que la suite comporte n termes, mais je ne comprends pas comment tu en déduis l'encadrement :mur:[/quote]

avec

En écrivant n inégalités (k variant de 1 à n) et en sommant :

[Vladdygde]

Je crois avoir trouvé une explication similaire ici : http://www.maths-forum.com/suite-definie-une-somme-86722.php

Est-ce qu'elle correspond bien à mon cas également ?



Ainsi, je peux appliquer cela en disant :
-Le terme le plus petit de cette somme est

-Le terme le plus grand de cette somme est

J'encadre donc ma suite :





Or donc

J'en déduis : et retombe effectivement sur ce que tu m'as indiqué précédemment.


J'ai bien compris ce qui a été dit, mais est-ce qu'il s'agit d'une propriété, d'un théorème ? Est-ce que tu l'as volontairement utilisé ? Est-ce que je peux essayer de l'approfondir pour l'assimiler ? Pour être honnête, ça me semble sortir de nulle part... Cela ne fait écho à aucune des propriétés que je connais sur les suites... Dans la discussion à laquelle je fais référence plus haut, il est fait mention de "série". La suite sur laquelle je travaille est donc une série ? :hein:

[Vladdygde]

avec



En écrivant n inégalités (k variant de 1 à n) et en sommant :

Mais oui c'est bien plus clair ! Je n'avais pas pensé à poser une autre suite, comme ... On encadre et on applique en quelque sorte le symbole somme. Merci !

[nodjim]

Cette petite astuce est pratique, on l'a trouve de temps en temps...
Oui ta suite est une série, puisque c'est une somme de termes.
La suite serait v(n)=1/(n+1)
et la série serait u(n)= v(n) + v(n+1) + v(2n-1).

[nodjim]

Sinon, mais c'est juste pour le fun:
Tu peux assimiler ta suite au log.
u(n) vaut à peu près ln(2n)-ln(n)= ln 2.
Plus n est grand, plus u(n) se rapproche de cette valeur.

[Vladdygde]

Cette petite astuce est pratique, on l'a trouve de temps en temps...
Oui ta suite est une série, puisque c'est une somme de termes.
La suite serait v(n)=1/(n+1)
et la série serait u(n)= v(n) + v(n+1) + v(2n-1).

Je vois, merci !
En revanche, je ne comprends pas comment on peut assimiler à soit . Où sont passés les termes intermédiaires entre et , comme ?