Structures algébriques

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Arc
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Structures algébriques

par Arc » 28 Mai 2023, 18:50

Bonjour, j'espère que vous allez bien.
pourriez- vous m'aider concernant la dernière question de cet exo ?
https://zupimages.net/viewer.php?id=23/21/iuo8.png
Pour la 4-a, j'ai distingué 2 cas, selon la parité de n
Pour la dernière, j'ai appliqué la formule du binôme et divisé le sigma en 2, (pairs/impairs) et j'ai remplacé D^k par l'expression trouvée dans 4-a mais je n'arrive pas à conclure.
Merci d'avance



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Ben314
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Re: Structures algébriques

par Ben314 » 28 Mai 2023, 19:12

Salut,
Je peut commencer par une "vague indication" pour voir si ça te suffit.
Quand tu as un polynôme P(X), pour obtenir un nouveau polynôme contenant uniquement les termes de degrés pairs (ou uniquement impairs) de P, on peut songer à ajouter/retrancher P(X) et P(-X).

Par exemple, partant de on peut trouver une écriture assez simple de et de
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Arc
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Re: Structures algébriques

par Arc » 28 Mai 2023, 19:44

Salut,
j'ai effectué quelques essais, mais la situation ne se débloque pas ...

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Ben314
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Re: Structures algébriques

par Ben314 » 28 Mai 2023, 20:05

Normalement, tu devrait trouver un (ou plutôt deux) trucs de ce style :
Somme pour pair entre et de
désigne le coefficient binomial.
S'il y avait pas le "pour pair", la valeur du bidule découlerais immédiatament de la formile du binôme de Newton modulo la petite astuce consistant à écrire que .

Et l'indic. que je te donne, c'est pour voir comment, partant de la formule du binôme de Newton en déduire les valeurs de et de qui sont les formules dont tu as besoin pour simplifier
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Arc
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Re: Structures algébriques

par Arc » 29 Mai 2023, 14:16

Bonjour,
oui je suis bien parvenu à cette étape, mais même avec votre indication, je ne parviens pas à expliciter la puissance en fonction de n :(

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Ben314
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Re: Structures algébriques

par Ben314 » 29 Mai 2023, 14:31


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Re: Structures algébriques

par Arc » 29 Mai 2023, 14:44

cela revient à écrire (1+X)^n = [( (1+X)^n+ (1-X)^n)/2]+[((1+X)^n- (1-X)^n)/2]
est-ce notre objectif ?

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Re: Structures algébriques

par Ben314 » 29 Mai 2023, 15:14

Bon, on va pas y passer la nuit non plus . . .
Du fait que pour pair et pour impair on a

Et, bien sûr, on a aussi

Et, en ajoutant/soutrayant, on en déduit que :


Ensuite, normalement, tu as du trouver que ce qui implique que pour pair et pour impair.
Puis, du fait que les matrices et commutent (attention à bien le préciser vu que, sinon, la formule du binôme de Newton serait fausse) on a :

Et on utilise les formules avec (pour avoir ) pour exprimer plus simplement les valeurs des coefficients et .
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GaBuZoMeu
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Re: Structures algébriques

par GaBuZoMeu » 29 Mai 2023, 15:37

Bonjour,
L'objectif de la question 4 n'est pas formulé très clairement. On peut penser qu'il s'agit d'exprimer et sous la forme .
Dans ce cas, il est bien plus simple d'avoir des formules dépendant de la parité de pour et de la classe de modulo 3 pour .
La machinerie derrière l'exercice s'éclaire quand on réalise que le corps est isomorphe à par un isomorphisme qui envoie sur , et donc sur .

GaBuZoMeu
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Re: Structures algébriques

par GaBuZoMeu » 29 Mai 2023, 15:38

Au fait, tu t'es visiblement trompé de section de forum : ce n'est clairement pas "Lycée".

Arc
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Re: Structures algébriques

par Arc » 29 Mai 2023, 16:01

Bonjour, je vous remercie pour vos réponses et vos éclaircissements.
Il s'agit bien du lycée, mais du programme marocain (terminale filière science maths uniquement).

koomath
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Re: Structures algébriques

par koomath » 31 Mai 2023, 14:47

Soit la matrice .
Résoudre dans l'équation d'inconnue suivante :
(E) :
Soit l'ensemble des solutions de l'équation (E). Montrer que :

Établir que est un -espace vectoriel et déterminer sa dimension. Montrer que est stable dans .
Montrer que est un corps commutatif.
Résoudre dans l'équation d'inconnue suivante : .
Soit : et
Calculer en fonction de .
Déterminer en fonction de (pensez au binôme de Newton).

PhillipSiz
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par PhillipSiz » 15 Juil 2023, 10:57

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