Spe TS

[emdro]

Bah oui, c'est ce que j'ai dit à J-R en haut de cette page, mais figure-toi qu'on ne parvient pas à trouver de démonstration arithmétique simple de ce résultat à part:
* la récurrence via la relation de Pascal
* les valuations p-adiques.

Et pourtant, c'est intuitif non?

[Nightmare]

Non c'est vrai qu'une preuve d'arithmétique pure me semble difficile d'accés, cependant pourquoi vouloir une preuve arithmétique lorsque l'on a une jolie preuve combinatoire? :lol3:

En fait, on peut même se passer d'introduire des coefficients binomiaux.

Soit n(n-1)...(n-p+1) p nombres consécutifs.

p correspond au nombre de p-uplets où les xi sont des éléments de {1,...,n} deux à deux distincts ( nombre d'arrangement de p éléments de {1,...,n}.

En notant A(n,p) l'ensemble des arrangements de p éléments de {1,...n} et C(n,p) l'ensemble des parties de {1,...,n} à p éléments, l'application qui à un p-uplet associe la partie est surjective, et toute partie admet exactement p! antécédents, obtenus en permutant les (x1,...,xp).
Ainsi et on a le résultat voulu.

C'est en fait exactement la même preuve que celle que j'ai faite ci-dessus, mais elle évite de déclarer les entiers sans réelle preuve.