TS Spe - Nombre premier

par **Lowke** » 13 Oct 2010, 16:14

Bonsoir à tous,
j'aimerais avoir votre aide sur un exercice de math spe, voila le sujet;

On veut prouver que P' = { p appartient à ensemble P tel que p congru -1 (4) } est infini.

a) Justifier que tout nombre premier impair est congru 1 ou à -1 modulo 4.
b) Justifier que P' different de l'ensemble vide
c) On raisonne par l'absurde : on suppose que P' est fini, c'est à dire constitué de k nombres premiers p1,p2,p3...pk.
On pose N = produit pi ( genre de pi avec petit k au dessus et petit i en dessous )
1)On suppose k pair. En déduire que N+2 dmet un diviseur dans P'. Que peut-on en conclure?
2) Faire un raisonnement similaire si on suppose k impaire
3) Conclure

Voila ce que j'ai trouver

a) J'ai trouver grace au cours
b) p = 3 est élément de P'

Et aprés je bloque!

par **nodjim** » 13 Oct 2010, 16:44

Lowke a écrit:c) On raisonne par l'absurde : on suppose que P' est fini, c'est à dire constitué de k nombres premiers p1,p2,p3...pk.
On pose N = produit pi ( genre de pi avec petit k au dessus et petit i en dessous )
1)On suppose k pair. En déduire que N+2 dmet un diviseur dans P'. Que peut-on en conclure?

Si k pair, de quelle forme est N ? 4k+1 ou 4k-1 ? donc N+2 est de quelle forme ?

par **Lowke** » 13 Oct 2010, 17:04

Je ne comprend pas comment on peut trouver que si k est pair, N est sous la forme 4k+1 ou 4k-1.
Sinon en suivant ton raisonnement N+2 est sous la forme 4k+3 ou 4k+1

par **nodjim** » 13 Oct 2010, 17:06

Si k pair, par exemple:
(4x-1)(4y-1)= +1 ou -1 modulo 4 ?

par **Lowke** » 13 Oct 2010, 17:16

nodjim a écrit:Si k pair, par exemple:
(4x-1)(4y-1)= +1 ou -1 modulo 4 ?

+1 modulo 4 donc N+2 = 4k+3

par **nodjim** » 13 Oct 2010, 17:23

Oui et donc ? Ce nombre est il divisible ou premier ? si divisible, est il divisible par un des facteurs ?

par **Lowke** » 13 Oct 2010, 17:30

nodjim a écrit:Oui et donc ? Ce nombre est il divisible ou premier ? si divisible, est il divisible par un des facteurs ?

Donc N+2 admet un diviseur dans P'?
Et on conclu en disant que P' n'est soit pas fini, soit il est impair?
Mais je ne vois pas le facteur

par **nodjim** » 13 Oct 2010, 17:40

Tu fais par exemple 3*7=21 auquel tu ajoutes 2=23.
23 est premier, de la forme 4k+3, donc 7 n'est pas le plus petit premier 4k+3.

Tu fais 3*7*11*19=4389 auquel tu ajoutes 2=4391.
Tu ne sais pas si 4391 est premier mais tu es sûr qu'il n'est pas divisible par 3, ou 7 ou 11 ou 19 car le reste sera toujours 2. Si 4391 est premier, alors tu as trouvé un premier 4k+3 plus grand que 19.
Si 4391 n'est pas premier alors au moins des facteurs premiers est de la forme 4k+3 car sinon, si tous les facteurs étaient des 4k+1, alors ce nombre serait un 4k+1. Et on a dit que ce 4k+3 n'est pas un des facteurs du produit initial. Ce 4k+3 est donc un nouveau premier > 19, et donc 19 n'est le plus grand.
Fais la même démo avec k impair.

par **Lowke** » 13 Oct 2010, 21:00

nodjim a écrit:Tu fais par exemple 3*7=21 auquel tu ajoutes 2=23.
23 est premier, de la forme 4k+3, donc 7 n'est pas le plus petit premier 4k+3.

Tu fais 3*7*11*19=4389 auquel tu ajoutes 2=4391.
Tu ne sais pas si 4391 est premier mais tu es sûr qu'il n'est pas divisible par 3, ou 7 ou 11 ou 19 car le reste sera toujours 2. Si 4391 est premier, alors tu as trouvé un premier 4k+3 plus grand que 19.
Si 4391 n'est pas premier alors au moins des facteurs premiers est de la forme 4k+3 car sinon, si tous les facteurs étaient des 4k+1, alors ce nombre serait un 4k+1. Et on a dit que ce 4k+3 n'est pas un des facteurs du produit initial. Ce 4k+3 est donc un nouveau premier > 19, et donc 19 n'est le plus grand.
Fais la même démo avec k impair.

Si k impair, N de la forme 4k-1 et N+2 de la forme 4k+1
Tu fais par exemple 3*5=15 auquel tu ajoutes 2=17
17 est premier, de la forme 4k+1, donc 7 n'est pas le plus petit premier 4k+1.

Est-ce bon pour le moment? Pourrait tu m'éclairer pour faire la suite, je ne comprend pas trés bien

par **Lowke** » 13 Oct 2010, 22:54

Lowke a écrit:Si k impair, N de la forme 4k-1 et N+2 de la forme 4k+1
Tu fais par exemple 3*5=15 auquel tu ajoutes 2=17
17 est premier, de la forme 4k+1, donc 7 n'est pas le plus petit premier 4k+1.

Est-ce bon pour le moment? Pourrait tu m'éclairer pour faire la suite, je ne comprend pas trés bien

De plus comment puis-je conclure ?

par **nodjim** » 14 Oct 2010, 08:41

Pour k impair, le produit est de la forme 4k+3. Regarde ce que vaut N+4, qui est aussi forcément de la forme 4k+3.

par **Lowke** » 14 Oct 2010, 12:00

nodjim a écrit:Pour k impair, le produit est de la forme 4k+3. Regarde ce que vaut N+4, qui est aussi forcément de la forme 4k+3.

Si N est impair, il est de la forme 4k+1 et N+4 = 4k+5
Or 3x5=15 auquel on ajoute 2 soit 15 +2= 17
17 est premier de la forme 4k+5, donc 5 n'est pas le plus petit premier 4k+1.

par **nodjim** » 14 Oct 2010, 12:50

Non, si k impair, le produit est de la forme 4k+3 (ou 4k-1). Pour calculer un produit modulo x, on multiplie seulement les restes de la division par x de chacun des termes.
Par exemple, les nb prem de forme 4k-1 sont= 3,7,11,19,23,31..=(-1)(-1)(-1)....modulo 4.
Si k est pair le résultat est 1, si k est impair, le résultat est -1.

par **Lowke** » 14 Oct 2010, 14:58

nodjim a écrit:Non, si k impair, le produit est de la forme 4k+3 (ou 4k-1). Pour calculer un produit modulo x, on multiplie seulement les restes de la division par x de chacun des termes.
Par exemple, les nb prem de forme 4k-1 sont= 3,7,11,19,23,31..=(-1)(-1)(-1)....modulo 4.
Si k est pair le résultat est 1, si k est impair, le résultat est -1.

On suppose k impaire.
Pour k impair, le produit est de la forme 4k-1(4).
Or N+4= 4k+3(k) donc donc N+4 est de la meme forme que N?

TS Spe - Nombre premier

TS Spe - Nombre premier

Qui est en ligne