Spe math: Nombre premier

[Gonra]

bonsoir,

j'ai un peu de mal à une question de mon devoir de math si quelqu’un peut m'aider s'il vous plait

Sujet:


une suite numérique f est définie sur N (entier naturel) pour f(n)= n^4+64

1)a vérifier que pour n de 0 à 5 , les termes de la suite sont tous composé

f(0)=64=8 * 8
f(1)=65=5*13
f(2)=80=5*16
f(3)=145=5*29
f(4)=320=5*64
f(5)=689=53*13 Tous composé

1)b) que peut on en déduire sur la divisibilité de f(n) lorsque n n'est pas divisible par 5 ?

Si n n'est pas un multiple de 5 alors f(n) est de divisible par 5

c ) montrer que si n est pair alors f(n) l'est aussi .
si n est pair alors
n 0 (2) n^4 0 (2) n^4+64 64 0 (2)

2)a) verifier que pour n = 1 ; 3 et 5 , f(n) s'ecrit comme un produit de 2 nombre premiers m(n) *M(n)
, où m<M.

f(1)=65=5*13 5/13 sont premiers et 5<13
f(3)=145=5*29 5 et 29 premiers et 5<29
f(5)=689=53*13 53 et 13 sont premier et 13 < 53


b) 2 série m et M sont affiché dans un graphique par tableur
chaque série est représente par une courbe tendance d’équation de second degré



quelle factorisation on en déduit pour F(n) ?

n^4+64 = (n^2+4n+8)(n^2-4n+8)

c) Démontrer que f(n) est composé pour tout entier naturel

la j'ai un doute

je dois faire par récurrence ou bien me servir des autre question ?7


d) Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers A tels que n^4+A soit un composé quel que soit l'entier n.

il est possible de le démontrer par l'absurde ?

Merci d'avance pour votre aide

[capitaine nuggets]

Salut !

2°)c) Oui, pourquoi pas un récurrence :++:

2°)d) Oui, j'aurais fait pareil.

[chan79]

n^4+64 = (n^2+4n+8)(n^2-4n+8)

c) Démontrer que f(n) est composé pour tout entier naturel

la j'ai un doute


Merci d'avance pour votre aide

Salut
si aucun des facteurs n'est égal à 1, c'est bon, je pense

[Gonra]

Re-Bonsoir

j'ai un doute pour hérédité....

Pn "f(n) est composé) quel que soit n entier naturel"

Salut pour

Initialisation ; P(0): f(0)= 64= 8*8= 2^6 donc c'est vrai au rang 0

Hérédité : Supposons que Pn est vrai au rang n et vérifions si c'est vrai pour P(n+1)

(n^2+4n+8)(n^2-4n+8)

((n+1)^2+(n+1)*4+8)*((n+1)^2-(n+1)*4+8)

(n²+6n+13)(n²-2n+5)

c'est composé de 2 entier un appartenant à n²+6n+13 et l'autre à n²-2n+5


Conclusion
l’hérédité étant vérifiés et l'initialisation étant vrai alors on Pn est vrain Quelque soit n de N

[Gonra]

Salut
si aucun des facteurs n'est égal à 1, c'est bon, je pense

Salut j'ai pas compris ce que vous vouliez dire

si n = 1 on tombe sur 13 * 5

[chan79]

Salut j'ai pas compris ce que vous vouliez dire

si n = 1 on tombe sur 13 * 5

f(n) = (n²+4n+8)(n²-4n+8)
cette égalité montre bien que f(n) est toujours composé
il y a juste à vérifier qu'aucun facteur ne peut être égal à 1

[Gonra]

n appartient à l'ensemble N

et pour n = 0 n²+4n+8 = 8 et n²-4n+8=8

les 2 facteurs ne seront jamais égal à 1 à cause de n qui appartient à
l’ensemble de N


________________________________________________________________


quelqu’un pourrait vérifier si ma récurrence est cohérente ?

[chan79]

n appartient à l'ensemble N

et pour n = 0 n²+4n+8 = 8 et n²-4n+8=8

les 2 facteurs ne seront jamais égal à 1 à cause de n qui appartient à
l’ensemble de N


________________________________________________________________


quelqu’un pourrait vérifier si ma récurrence est cohérente ?

une idée pour la fin
soit un carré pair comme c=36
si on pose A=(c/2)² A=18²
puis b=c/2 soit b=18
et a= soit a=6

(n²+6n+18)(n²-6n+18)=n;)+18²=n;)+A qui est donc composé quel que soit n
Pour tout carré pair c, tu peux trouver A

[Gonra]

une idée pour la fin
soit un carré pair comme c=36
si on pose A=(c/2)² A=18²
puis b=c/2 soit b=18
et a=\sqr{c} soit a=6

(n²+6n+18)(n²-6n+18)=n;)+18²=n;)+A qui est donc composé quel que soit n
Pour tout carré pair c, tu peux trouver A

je n'ai pas compris

(n²+6n+18)(n²-6n+18)

C'est pas n^4+64 = (n^2+4n+8)(n^2-4n+8) ?

[Gonra]

quelqu’un pourrez me dire si j'ai pour bon pour la récurrence ?

Démontrer que f(n) est composé pour tout entier naturel

Pn "f(n) est composé) quel que soit n entier naturel"

Salut pour

Initialisation ; P(0): f(0)= 64= 8*8= 2^6 donc c'est vrai au rang 0

Hérédité : Supposons que Pn est vrai au rang n et vérifions si c'est vrai pour P(n+1)

(n^2+4n+8)(n^2-4n+8)

((n+1)^2+(n+1)*4+8)*((n+1)^2-(n+1)*4+8)

(n²+6n+13)(n²-2n+5)

c'est composé de 2 entier un appartenant à n²+6n+13 et l'autre à n²-2n+5


Conclusion
l’hérédité étant vérifiés et l'initialisation étant vrai alors on Pn est vrain Quelque soit n de N

[mrif]

quelqu’un pourrez me dire si j'ai pour bon pour la récurrence ?

Non ton raisonnement est faux car il ne s'agit pas de factoriser f(n) mais de montrer que les facteurs sont strictement supérieurs à 1.

Essaie plutôt ça:
n^2+4n+8 = (n+2)² + 4 donc n^2+4n+8 >= 4
n^2-4n+8 = (n-2)² + 4 donc n^2-4n+8 >= 4

[Gonra]

le raisonnement par récurrence n'est pas obligatoire vu que f(n) est un produit de 2 facteur et que n appartenant au entier naturel est positive et donc 0²+4*0+8=8 dans les 2 cas
et lim(n²-4n+8)=+oo
x->+oo

Pour la question d ,
je dois prendre comme hypothèse qu'il existe un nombre fini d'entiers A tels que n^4+A soit un composé quel que soit l'entier n ??

[Gonra]

Bonsoir , quelqu’un peut m'aider pour la dernière question je comprend toujours pas malgré qu'on y prouvé que n^4+64 est composé..

d) Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers A tels que n^4+A soit un composé quel que soit l'entier n.

[chan79]

je n'ai pas compris


C'est pas n^4+64 = (n^2+4n+8)(n^2-4n+8) ?

C'est (n²+6n+18)(n²-6n+18)=n;)+324
de même, en partant de c=64 (voir plus haut)
(n²+8n+32)(n²-8n+32)=n;)+1024
ou encore, en partant de c=100
(n²+10n+50)(n²-10n+50)=n;)+2500
il y a une infinité de possibilités puisqu'il y a une infinité de carrés pars

[Gonra]

quelqu'un a la solution pour le dernière question ?
on vient de me rendre le dm j'ai eu 0/1 dessus ......
je ne comprend pas trés biens ce que Chan79 me dit dans

soit un carré pair comme c=36
si on pose A=(c/2)² A=18²
puis b=c/2 soit b=18
et a= \sqr{c} soit a=6

le prof m'a dit que sa ne suffisait pas à démontrer un cas général pour le fait que si on prend A un carré pair