Spé maths!!!

par **Anonyme** » 26 Oct 2005, 13:31

coucou!!!
mon prof de spé ns a donné un dm pendant les vacances et ça c noraml, le problème, c juste que je ne sais pas comment commencer:

1°/on cherche les les valeurs de n naturel strictement sup à 4 pour que (n+17)/(n-4) soit un entier. on nous guide en nous disant de de démontrer que "(n-4) divise (n+17)" équivaut à "(n-4) divise 21". est ce ke si je démontre que l'ensemble des multiples de 21 est égal à l'ensemble des nombres s'écrivant n+17, je démontre qch d'intéressant?

2°/ j'ai A=n-1 et B=n²-3n+6.
je dois alors démontrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 4, mais je me perds dans des divisions euclidiennes qui n'ont selon moi pas de sens puisque je ne connais pas les valeurs des restes, et j'avoue que les théorèmes comme celui de Bézout n'ont pas été très bien digérés!
merci de me donner si qn en voit une une méthode pour venir à bout des PGCD...!

3°/ ça c plus général: comment faire pour déterminer des valeurs de n dans l'ensemble des entiers naturels ou relatifs pour qu'une fraction soit égale à un nombre entier!: je ne vais pas m'amuser à les examiner ttes! est-ce que regarder la parité suffit? ou existe-t-il d'autres moyens?

par **Anonyme** » 26 Oct 2005, 14:31

qn pourrait il regarder ça svp?
je ne suis pas vraiment pressée mais com je n'arrive plus à rien faire ça m'énerve
je n'arrive même pas à démontrer une égalité d'ensemble, et pourtant l'exo porte sur ça!

par **becirj** » 26 Oct 2005, 14:40

Bonjour
1. Tout multiple non nul de 21 peut s'écrire sous la forme n+17, il suffit de retrancher 17 pour obtenir n. Ce n'est donc pas très interessant !

Si n-4 divise n+17, comme il divise aussi trivialement n-4, il divise leur différence, c'est à dire 21.
Réciproquement : si n-4 divise 21 , comme il divise n-4 ...
Il te reste à trouver les diviseurs de 21.

par **Anonyme** » 26 Oct 2005, 14:46

moi je veux bien le faire comme ça mais le prof et même le bouquin disent de se servir d'égalités d'ensembles. A partir de là moi je ne vois plus comment faire
et puis admettons que j'utilise cette méthode, comment faire pour donner tts les valeurs de n telles ke (n+17)/(n-4) soit un entier???

par **becirj** » 26 Oct 2005, 14:56

2. Détermine les entiers a et b tels que

Un diviseur commun à A et B divise B- (n-a)A = b (avec les a et b que tu auras trouvés). Le PGCD de A et B est donc égal au PGCD de A et b.

3. Pour trouver le PGCDil y a différentes méthodes que tu as du voir en cours, cela dépend de l'exercice. Il faut faire des exercices d'entraînement.

par **Anonyme** » 26 Oct 2005, 14:59

ok merci je vais essayer de voir com ça j'envoie mes résultats dès que j'en ai mais stp est ce ke tu peux just réfléchir deux sec à l'histoire d'égalité d'ensembles...

par **Anonyme** » 26 Oct 2005, 15:01

oui effectivement pour la question sur les pgcd n²-3n+6=(n-1)(n-2)+4 d'où tt le reste!

par **becirj** » 26 Oct 2005, 15:03

1.

est un entier si et seulement si n-4 divise n+17 donc si et seulement si n-4 divise 21.
L'ensemble des diviseurs de 21 est {1, 3, 7, 21}, n-4 peut prendre ces 4 valeurs d'où

par **becirj** » 26 Oct 2005, 15:09

Dans la deuxième question, quand on a montré que tout diviseur commun à A et B est un diviseur commun à A et 4 on peut écrire que l'ensemble des diviseurs communs à A et B est égal à l'ensemble des diviseurs communs à A et 4. Comme l'ensemble des diviseurs communs à 2 nombres est l'ensemble des diviseurs de leur PGCD, on en déduit que PGCD(A,B)=PGCD(A,4)

par **Anonyme** » 26 Oct 2005, 15:12

ok pour l'exo 1 ça y est g compris
pour le 2° je referai mes démonstrations mais ya qd même un truc ki me chiffone!:
l'égalité de pgcd elle est prouvée, mais de là je dois déterminer selon les valeurs de l'entier n le PGCD de A et B
je suis partie en distingant le k où A est pair et celui où il est impair mais là je bloque. je concluerai bien avec pgcd=2 quand n est impair mais si q lui même est pair c 4, enfin bref je m'en sors pas

je vais essayer de me centrer autour de 4 mais si tu as une piste je suis preneuse
merci encore

par **becirj** » 26 Oct 2005, 15:37

Ce que tu as écrit est correct.
Le PGCD est un diviseur de 4 donc 3 possibilités :1, 2 et 4

Si n est pair alors n-1 est impair le PGCD est alors 1.

Si n est impair, n-1 est pair il y a effectivement 2 cas.
Le pgcd est 4 si 4 divise n-1 (on sait n>4) donc si n-1=4q soit n=4q+1 (q>0)
soit n multiple de 4 +1 : 5,9,13,...
Les autres n impairs sont de la forme 4q+3 (q>0) soit 7,11,15,... Dans ce cas, le PGCD est alors 2.

On peut aussi écrire les résultats en utilisant les congruences si tu les a vues.

par **Anonyme** » 26 Oct 2005, 18:21

g juste une dernière question et après c promis je te laisse tranquille!!!
je comprends pourkoi il y a les deux cas, puisque ça je m'en étais douté. le k où n est multiple de 4+1 pas de problème
par contre le deuxième moi j'aurais eu tendance à dire 2q+1 et pas 4q+3. alors bah là j'avoue je voudrais bien que tu m'explique!!!
merci infiniment

par **becirj** » 26 Oct 2005, 18:57

Si q est pair 2q+1=2(2q')+1=4q'+1
Si q est impair 2q+1=2(2q'+1)+1=4q'+3
L'écriture 2q+1 couvre donc les entiers (mutiples de 4) +1 et les entiers (multiples de 4)+3 qui ne conduisent pas à la même réponse dans le cadre de l'exercice
Bonne soirée

Spé maths!!!

spé maths!!!

Qui est en ligne