Ah..la spé maths.

[Kimou]

Bonjour, voila j'ai quelques souci...
la spé maths plus j'avance plus je trouve sa complexe...
EXO:
x et y désignent des entiers relatifs
1.(E) est l'équation diophantienne 5x² +y²=45
a) donner un encadrement de x et y
b) Résoudre (E) en envisageant tous les cas possibles.
2(E') est l'équation diophantienne2x²-y²=5
En raisonnant modulo 5 démontrer que l'éaquation (E') n'a pas de solution.

PS: diophantienne = équation à plusieurs inconnues à coeff entier dont on cherche uniquement les solutions entières.


Là je sèche mais sévere :-s.

[Quidam]

Tu sèches sévère même sur la première question ?

[Flodelarab]

Pas mal cet exo.
Bon, évidemment, faut se remonter les manches pour la 1.
Mais la 2 est fine.

[lapras]

salut,
j'aime bien cet exo !

x et y désignent des entiers relatifs
1.(E) est l'équation diophantienne 5x² +y²=45
a) donner un encadrement de x et y

x=3 , x²>=9 et 5*x²>= 45
Si y>= 7 , alors y²>49>45

pour résoudre (E)
Déja on remarque une solution :
(3;0)

Apres si y>0
y² = 5(x²-9)
y² = 0 [5]
donc y²=5k

5(x²+k) = 45
x²+k=9

Il n'y a plus beaucoup de solutions, si on travaille dans les naturels !
ps , je trouve :
(+/-2 ; +/-5)
(+/-3 ; 0)


2)
On a : 2x²-y²=5
donc
2x²-y² = 0 [5]
tableau de congruences :
X.....0....1....2....3....4
X²...0.....1....4....4....1
On voit bien que la différence de 2 fois un carré et un carré ne peut etre congru à 0 mod 5 si et seulement si :
x=0 et y=0 mod 5

50k²-25k'² = 5
5²(2k²-k'²) = 5
5(2k²-k²) = 1
de là, tu en déduis que...

[Quidam]

Il n'y a plus beaucoup de solutions, si on travaille dans les naturels !
ps , je trouve :
(+/-2 ; +/-5)
(+/-3 ; 0)

[I]x et y désignent des entiers relatifs

Ben oui ! D'ailleurs, tes réponses sont bien dans les relatifs ! :ptdr:

[Flodelarab]

Ben oui ! D'ailleurs, tes réponses sont bien dans les relatifs ! :ptdr:

Et j'en remets une couche en disant que ton début de démonstration est louche. Tu pars à l'envers.

Si x>=3 , x²>=9 et 5*x²>= 45

[lapras]

Désolé pour la confusion relatifs/naturels...
Mon début de démonstration, ma réponse est bonne de toute facon (en considérant que x et y naturels, apres on complete quand ils sont relatifs)
J'ai raisonné à l'envers en remarquant que si x>=3, alors 5x²+y²=> 45
Je ne vois pas le probleme de partir à l'envers

[Flodelarab]

Je ne vois pas le probleme de partir à l'envers

OK, alors je fais le même raisonnement que toi:
si x>=3243, alors 5x²+y²>= 52585245 >= 45
..... et on apprend quoi avec ça ?
On sait que x ne peut pas etre supérieur à 3243. Mais que s passe t il si je prends 3244 ? 342 ? ou 3?... on ne sait plus.

Convaincu ?

[lapras]

Convaincu :ptdr:
(Mais pour arriver à x>= 3 , tu te doutes bien que j'ai raisonné comme il le fallait, j'ai cherché le "seuil" à partir duquel 5x²>= 45)

[Kimou]

ouah impressionnant!
Merci beaucoup déjà pour tout ça, je vais reprendre ça calmement pour être sûr d'avoir bien compris...je vous tiens au courant sur la suite des evenements :-)

[Flodelarab]

Hum. oui, sauf que l'encadrement que tu donnes de y est trop grand exactement à cause de ta démonstration. 7 n'est en aucun cas possible pour y.
Ton 7 est équivalent à mon 3245

peut être approximé par 6,7
Pas de litige.

[Kimou]

En fait la première question c'est vraiment simple quoi....
bien qu'il y ait deux inconnues
elles sont toutes deux au carrés donc forcémement positives: on part donc du principe que l'inconnue qu'on cherche est au minimum lorsque l'autre inconnue est à zéro en fait (minimum possible pour un carré)...c'est très bête et j'y avais pas pensé, je pensais que c'était plus compliqué, et qu'il fallait donner des écitures en fonctions de l'autre, j'étais partis assez loin :$ :-)