Spé maths

[MaloLx]

Bonjour à tous
Jai un devoir maison à faire , et je suis bloquée sur la dernière partie C du sujet :

objectif: démontrez que pour tout entier naturel n, le nombre A(indice n)=n4(puissance n+1)-(n+1)4(puissance n)+1 est divisible par 9

A première solution
pour prouver que A(indice n) est divisible par 9, une première idée est de prouver que A(indice n) est congru à 0(mod 9), donc ici de prouver que n4(puissance n+1)-(n+1)4(puissance n)+1 est congru à 0(mod 9).
pour cela, il nous faut calculer les restes de la division par 9 de 4(puissance n) (ceux de 4{puissance n+1} s'en déduisent facilement).
Notons r(indice n) le reste de la division de 4(puissance n) par 9

1) calculer r(indice 0), r(indice 1), r(indice 2), r(indice 3), r(indice 4)
2.a) Prouver que:
4(indice n) est congru à 1 (mod 9) lorsque n=3p p appartenant à N
4(indice n) est congru à 4 (mod 9) lorsque n=3p+1 p appartenant à N
4(indice n) est congru à 7 (mod 9) lorsque n=3p+2 p appartenant à N

b) prouvez que, dans chacun des tris cas précédents, A(indice n) est congru à 0 (mod 9) puis concluez.

B.Deuxième solution
1) on suit la même idée en prouvant que A(indice n) est congru à 0 (mod 9). Dans ce genre de problème, il est souvent utile de factoriser. Dans l'écriture de A(indice n), 4(indice n) peut être mis en facteur dans les deux premiers termes.

vérifiez que:
A(indice n) est congru à 0 (mod 9) équivaut à 4(indice n)(3n-1) congru à -1 (mod 9)

2) 3 est un diviseur de 9. Pour faire apparaître des multiple de 9, on pense alors à écrire n sous la forme 3p, 3p+1 ou 3p+2

Prouvez que chacun des trois cas précédents, A(indice n) est congru à 0 (mod 9) puis concluez.

C Troisième solution par récurrence
La vérification pour n=0 ne pose pas de problème. On prend comme hypothèse, A(indice n) est congru à 0 (mod 9); nous devons prouver que A(indice n+1) est congru à 0 (mod 9).

1) justifiez que A(indice n+1)-A(indice n)=4(indice n)*9q avec q entier.
2) Rédigez cette solution

Je pense donc avoir réussi le A et B, mais je n'arrive pas le petit 1 du C, pouvez vous m'aidez à savoir ce qu'est A(indice n+1) simplifié au maximum ?

Merci et bonne journée

[chan79]

salut
Pour avoir tu remplaces par dans l'expression de
Tu dois trouver