Spé math : PGCD

[lopilu]

Bonsoir à tous.
J'essaie de résoudre un exercice de spécialité maths sur les PGCD, mais l'exercice résolu ni rien ne m'aide vraiment.
Voici l'exercice :

Déterminer tous les couples d'entiers naturels (a;b) tels que a²-b²=7695 et PGCD(a;b)=9.

Voici ma réponse :
On suppose que (a,b) est une solution. PGCD(a,b)=9, il existe donc des entiers a' et b' premiers entre eux tels que a=9a² et b=9b'. a et b étant des entiers naturels, a' et b' sont aussi des entiers naturels. De plus, a²-b²=7695 implique a'²-b'²=855. a' et b' sont donc premiers entre eux tels que a'²-b'²=855.

Je suis sur le point de conclure, mais je ne vois absolument pas comment déterminer le couple (a,b) à partir de ce que j'ai dis... Pourriez-vous m'aider ? Merci infiniment !

[Manny06]

Bonsoir à tous.
J'essaie de résoudre un exercice de spécialité maths sur les PGCD, mais l'exercice résolu ni rien ne m'aide vraiment.
Voici l'exercice :

Déterminer tous les couples d'entiers naturels (a;b) tels que a²-b²=7695 et PGCD(a;b)=9.

Voici ma réponse :
On suppose que (a,b) est une solution. PGCD(a,b)=9, il existe donc des entiers a' et b' premiers entre eux tels que a=9a² et b=9b'. a et b étant des entiers naturels, a' et b' sont aussi des entiers naturels. De plus, a²-b²=7695 implique a'²-b'²=855. a' et b' sont donc premiers entre eux tels que a'²-b'²=855.

Je suis sur le point de conclure, mais je ne vois absolument pas comment déterminer le couple (a,b) à partir de ce que j'ai dis... Pourriez-vous m'aider ? Merci infiniment !

N'oublie pas que a'²-b'²=(a'+b')(a'-b')
tu dois donc vhercher les diviseurs de 855 et les associer 2 par 2 de façon à obtenir un produit egal à 855
ex a'+b'=171 et a'-b'=5.......
attention
n'oublie pas que a' et b' sont premiers entre eux

[lopilu]

La réponse était vraiment sous mon nez...
Merci beaucoup ! :we:

[lopilu]

Une dernière chose...
Je viens de continuer les diviseurs que tu m'avais donné, mais en arrivant à terme, ça ne correspond plus... Voici ce que j'ai marqué :
a'²-b'²=(a'+b')(a'-b')=855. On résout le système a'+b'=171 et a'-b'=5.
En passant les calculs, je trouve (a',b')=(88,83).
En les appliquant, je trouve bien 88²-83²=855. Mais lorsque je veux trouver le couple (a,b), je multiplie donc 88 et 83 par 9, me donnant donc (a,b)=(792,747). Mais lorsque je les applique pour retrouver a²-b²=7695, ça ne marche plus du tout... Y a-t-il donc une erreur quelque part ?

[Manny06]

Une dernière chose...
Je viens de continuer les diviseurs que tu m'avais donné, mais en arrivant à terme, ça ne correspond plus... Voici ce que j'ai marqué :
a'²-b'²=(a'+b')(a'-b')=855. On résout le système a'+b'=171 et a'-b'=5.
En passant les calculs, je trouve (a',b')=(88,83).
En les appliquant, je trouve bien 88²-83²=855. Mais lorsque je veux trouver le couple (a,b), je multiplie donc 88 et 83 par 9, me donnant donc (a,b)=(792,747). Mais lorsque je les applique pour retrouver a²-b²=7695, ça ne marche plus du tout... Y a-t-il donc une erreur quelque part ?

je n'avais pas bien lu le début de ton exercice
si a=9a' et b=9b'
a²=81a'² et b²=81b'²
donc a'²-b-²=7685/81=95
recommence donc comme je t'aidit en decomposant 95 en 2 facteurs

[lopilu]

je n'avais pas bien lu le début de ton exercice
si a=9a' et b=9b'
a²=81a'² et b²=81b'²
donc a'²-b-²=7685/81=95
recommence donc comme je t'aidit en decomposant 95 en 2 facteurs

En effet ça va beaucoup mieux maintenant !
En disant que 95=5*19 et que a'²-b'²=(a'+b')(a'-b'), je trouve un couple (a',b')=(12,-7), donc en multipliant par 9 un couple (a,b)=(108,-63). Est-ce bon ?

[chan79]

En effet ça va beaucoup mieux maintenant !
En disant que 95=5*19 et que a'²-b'²=(a'+b')(a'-b'), je trouve un couple (a',b')=(12,-7), donc en multipliant par 9 un couple (a,b)=(108,-63). Est-ce bon ?

bonsoir
(a,b) doit être un couple d'entiers naturels
il y a plusieurs solutions

[lopilu]

bonsoir
(a,b) doit être un couple d'entiers naturels

J'avais totalement oublié cette condition... Merci beaucoup, je vais tout reprendre.