Spé math PGCD

[Rockleader]

bonjour à tous, un petit exercice qui me titille...



Montrer que pour tout entier naturel n

PGCD((n+1)²;n+2) = 1


j'ai attaqué l'exercice avec l'idée de faire une récurrence.


j'ai donc d abord fait pour n=0 pour initialiser.
on a donc PGCD(2;1)=1 et la propriété est vérifié

Je passe à l'hérédité

Je suppose: PGCD((k+1)²;k+2) = 1 vrai

Et je veux:

PGCD((k+2)²;k+3) = 1



Sauf que en relisant mon exercice, je me suis rendu compte que ce que j'avais fait n'étais pas bon...effectivement je retrouve 1 en PGCD, mais pour la ligne avec (k+1)² en fait je n'arrive pas à passer à ce que je veux...


Donc, la récurrence ne serait pas la bonne méthode ?

[nodjim]

A mon avis non c'est pas la bonne méthode.
As tu essayé la division euclidienne ?

[Iroh]

J'commence souvent par un raisonnement par l'absurde:

On doit montrer que

Soit .
On suppose par l'absurde que

, donc

En remplaçant le dans , tu obtiens une contradiction avec l'hypothèse absurde, donc celle-ci est fausse.

Sauf erreur.

[Rockleader]

A mon avis non c'est pas la bonne méthode.
As tu essayé la division euclidienne ?

k²+2k+1= k(k+2) + 1
(k+2) = 1*(k+2) + 0

==> PGCD = 1

C'est aussi simple que ça ?

[globule rouge]

k²+2k+1= k(k+2) + 1
(k+2) = 1*(k+2) + 0

==> PGCD = 1

C'est aussi simple que ça ?

hello
Bah vi ! Il ne faut pas chercher des poils sur les oeufs

[Rockleader]

Bon bah oki...en fait c'est ce que j'avais fait dans ma récurrence, mais comme je n'étais pas arrivé à obtenir ce que je voulais --'


Donc au final ici la récurrence ne sert à rien...


Merci bien à vous tous.

[sad13]

Je dirais que c'est plutôt l'algorithme d'Euclide et comme le dernier reste non nul est 1; c'est bien notre pgcd