Spé math, divisibilité, division euclidienne, congruences

[popichon]

Bonjour, j'ai quelques exercices à faire pour demain, mais je n'arrive pas a toutes les questions ! Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Comment prouver que si n²+3 est divisible par 4, alors n est impair ?
Dois je partir en montrant que si n est pair alors n²+3 n'est pas divisible par 4 ?

[nodjim]

Si n pair, n²+3 impair, donc non divisible par 4.
Si n impair, peut s'écrire 2n+1
(2n+1)²+3=4n²+4n+1+3=4n²+4n+4=4(n²+n+1).

[popichon]

D'accord, car juste avant il nous demande de montrer que si n est impair alors n²+3 est divisible par 4. C'est la meme démonstration en fait ?

[siger]

bonjour

oui tu peux montrer que ce n'est pas vrai pour n pair, mais ce n'est pas suffisant
....il faut montrer aussi que c'est vrai pour n impair

si n est pair
n = 2p
n^ 2 + 3 = 4 p^2 + 3

si n est impair on a
n = 2p +1
d'ou n^2 + 3 = 4*( p^2 + p +1)

[popichon]

D'accord ! Merci beaucoup! Et comment démontrer que si 3n+1 divise n²+n+8, alors 3n+1 divise 70 ?