DM de spé TS divisibilité et division euclidienne

[jponsin]

Bonjour, j'ai un dm de spé maths à faire et je n'y arrive pas. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Ex 1: Démontrer que, pour tout entier naturel n 2^(6n+3) + 3^(2n+1) est divisible par 11.

Ex 2: Démontrer que le cube de tout entier est de la forme 9k, 9k+1 ou 9k+8.

Ex 3: Soit a et b deux entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient de 13 et le reste est 50. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne:
a) de a par 13
b) de -a par 13
c) de 3a + 20 par 13

[Ben314]

Salut,
As tu vu les congruences ?

1)

2) Tout entier est de la forme où est entier et .
- Si alors
- Si alors
- Si alors

3) Il suffit de traduire en terme d'égalité toutes les phrases "??? divisé par ??? a pour quotient ??? et pour reste ???" et ça coule de source.

[jponsin]

1) Non je n'ai pas encore vu les congruences
2) j'ai compris merci bcp
3) j'ai compris ce que vous vouliez dire mais je ne vois pas comment ça m'aide à répondre aux questions

[Ben314]

Le 1) sans les congruences, c'est pas mal c...
A la limite, ça peut se faire par récurrence, mais ça demande un peu plus d'astuce.
Je te laisse faire l'amorce.
Pour l'hérédité, on suppose que, pour un certain entier naturel , on a avec entier, et on en déduit que :


Pour le 3), ça veut dire quoi que "Dans la division euclidienne de a par b, le quotient de 13 et le reste est 50" ?
Ou, si tu préfère, c'est quoi la définition d'une "division euclidienne" ?

[zygomatique]

salut





et on peut récurer sans pb ...


EX3 : énoncé pas clair ...

[Pseuda]

Bonjour,

Ex.1 aussi :


Le tout est de montrer que : est divisible par 11 pour tout n (sans les congruences).

J'entrevois au moins 4 solutions (binôme de Newton, factorisation par (64-9), suite géométrique, et récurrence).

Pour démontrer par récurrence , on peut écrire :
,
(soit le même principe que pour démontrer que la congruence est compatible avec la multiplication).

Ex 3 . a = b * 13 + 50, division euclidienne de a par b, le quotient est 13, le reste est 50. Ceci veut dire que
Division euclidienne de a par 13 : a = 13 b + 50 = 13 b + 39 + 11 = ...

[chan79]

salut
pour la 1
) car est impair

[zygomatique]

toujours est-il qu'il faille connaitre la factorisation de suivant la parité de n ...

au lycée on ne peut attendre qu'une récurrence ... comme titine l'a fait (parce que comme moi ils n'y arrivent pas parce qu'il ne pensent plus) ... quand ils y arrivent ...

[chan79]

au lycée on ne peut attendre qu'une récurrence ...

mince alors, faut que je revoie les programmes de lycée...

[zygomatique]

mais je te rassure je fais travailler mes élèves de spe sur ces identités remarquables (en DM au moins) qui ne sont pas exigibles ...

[nodgim]

Plus court :
2^(6n+3)= 8^(2n+1) = (-3) ^(2n+1) modulo 11.
(-3)^(2n+1) = - 3^(2n+1) car la puissance est impaire.
-3 ^(2n+1) + 3^(2n+1)= 0 mod 11

[chan79]

Division euclidienne de a par 13 : a = 13 b + 50 = 13 b + 39 + 11 = ...

salut
donc -a=13(-b-3)-11=