TS spé. Division euclidienne

[JALeX]

Bonjour,
voici un exercice ou je bloque :

Exercice :
a et b des entiers naturels tels que 0<b²<a.
On note c et r respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b.
1/Ecrivez les relations qui traduisent ces hypothèses.
2/Démontrez que b=<c (inférieur ou égal)
3/Démontrez que dans la division de a par c, le quotient est b et que le reste est inchangé (c'est à dire r).
4/ Trouvez un contre exemple qui montre que si a<b², il peut arriver que le quotient de a par c ne soit pas b.

Donc voila, je bloque dès la question 2.

Merci de m'aider

[JALeX]

Personne ne peut m'aider?

[Imod]

Pour le 2°) , utilise .

Imod

[Imod]

Pour le 2°) utilise .

Imod

[Quidam]

Bonjour,
Division euclidienne de a par b :
a = cb+r avec ou encore
Donc :





Par ailleurs, on nous dit que , donc :

D'où :

Et en divisant par b :

Mais comme est un nombre plus petit que 1, et que b est un nombre entier, cela montre bien que b est au maximum égal à c :

[Imod]

Pour quidam qui vraiment beaucoup de mal à se défaire de ses défauts ( il me comprendra ) . En partant de mon inégalité : on a immédiatement :b(b-c-1) < 0 donc b<c+1 et .

Imod

[JALeX]

Ah oui merci c'est cool je comprend :)
Avant cette dernière réponse, j'avais trouvé un résultat de b
ET sinon pour le 3 et le 4 ?

edit: ah imod, j'était arrivé à ton résultat, (b

[Imod]

Pour le 3°) il suffit d'utiliser intelligemment les questions 1°) et 2°) .

Imod

[JALeX]

Hum, dsl je vois pas..

Mais dans le 1/
Tu as juste a=bc+r
0et 0
et après dans le 2/ j'ai eut b=< c

Mais après j'arrive pas à mettre en relation..

[Imod]

Tu ne vois pas que b et c jouent un rôle quasi-identique ?

Imod

[JALeX]

Ben si c'est sur, ils ont le même role, mais je vois pas comment démonter tout ça..

[Imod]

Il est donc temps de reprendre sérieusement la première question .

Imod

[JALeX]

pourquoi, j'avais faux sur ma première question?

[Imod]

Non , mais il n'est pas interdit ( c'est même conseillé ) d'utiliser les même arguments .

Imod

[JALeX]

Ahem, donc enfait,
j'ai
a=bc+r
0=
et j'ai démontré que b=< c

Donc forcément on a r< c

Donc on a :

|a=bc+r
|0=< r
Donc la j'ai bien démontré mon truc!

Ok :)

Et pour le 4/ il me faut un contre exemple..

[Imod]

L'heure est donc à l'étude du cours : qu'est-ce qu'une division euclidienne ?

Imod

[JALeX]

hum, mais ma démonstration est bonne non?

Division euclidienne :

|a=bq+r
|0=< r < b

[Imod]

Oui , et pour la dernière question , imagine une division où tu ne pourrais pas échanger le diviseur et le quotient .

Imod

[JALeX]

ben j'ai trouvé un bon contre exemple.
a=5 et b=3
a
division de a par b :
5= 3x1 + 2 (donc c=1)

division de a par c:
5= 5x1 + 0
-->Donc le quotient de a par c est 5 et n'est pas b

Voila pour cet exo!
(Si tu pouvais m'aider pour l'autre..)

Merci!