TS Division euclidienne (spé)

[Volcom]

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice:

Soit n un entier naturel
1) Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de 5^n par 13
2) En déduire que 1981^1981 -5 est divisible par 13
3) Démontrer que, pour tout entier n superieur ou égal à 1, le nombre N= 31^(4n-1) est divisible par 13

Pouvez vous m'aider car je ne vois pas comment faire... J'ai essayé de remplacer n par 2,3,4,5,6... et je remarque qu'on retrouve le meme reste pour n et n+4, mais c'est tout...
Merci

[lapras]

pour n =
0 : 5^n = 1 (13)
1 : 5^n = 5 (13)
2 : 5^n = 12 (13)
3 : 5^n = 8 (13)



puis pour tout
n = 0 (4) , alors 5^n = 1(13)
n = 1(4), alors 5^n = 5 (13)
n = 2(4), alors 5^n = 12 (13)
n = 3(4), alors 5^n = 8 (13)

comme 1981 = 5 (13) , alors 1981^1981 = 5^1981(13)
comme 1981 = 1 (4), alors 1981^1981=5(13) donc 1981^1981-5 = 0(13)

cqfd

remarque que
31 = 5 (13)
donc 31^(4n-1) = 5^(4n-1) (13)
comme (4n-1) = -1 = 3 (4)
donc
31^(4n-1) = 8 (13)
donc
31^(4n-1) N'EST pas divisible par 13, vérifie ton énoncé
(ou bien vérifie ma réponse)

[Volcom]

Merci beaucoup pour ta réponse!
Pour la q3 c'était: Démontrer que, pour tout entier naturel n superieur ou égal à 1, le nombre N= 31^(4n+1) + 18^(4n-1) est divisible par 13
Désolé pour l'erreur

par contre quand tu dis 5^n = 1 (13) ça veut dire 5^n est congru à 1 modulo 13?