Sommes des carrés... Suites numériques.

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Vlarck !
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Sommes des carrés... Suites numériques.

par Vlarck ! » 29 Avr 2012, 19:39

Bonjour, je bloque sur ce problème...

Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par :

Un=
n
;)
k=1

1) Donner l'expression de Un+1 en fonction de Un et le premier terme U1 de la suite.

2) On considère maintenant la suite (Wn) définie par :
Wn = (n(n+1))(2n+1)/6

Déterminer W1 et Wn+1-Wn, puis l'expression de Wn+1 en fonction de Wn

3) En déduire que
n
;)k² = (n(n+1))(2n+1)/6
k=1

PISTE : Si deux suites ont le même premier terme et si, pour les deux suites, chaque terme se déduit du précédent par la même relation, alors ces suites sont égales.

En fait je me doute qu'il va falloir utiliser la propriété donnée qui s'appliquera pour (Wn) et pour (Un)... mais je bloque dès la question 1, quand ils demandent de donner l'expression de Un+1 en fonction de Un : j'ai aucune idée de ce qu'il faut faire pour ça.



Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 29 Avr 2012, 20:31

Salut !

Ca va peut-être te sembler bête, mais, pour pouvoir exprimer en fonction de , encore faut-il calculer :++:
Une fois cela fait, tu peut en déduire en fonction de assez facilement.
( est une somme de terme et est la somme de dont de ces termes sont exactement les même que dans ).
Enfin pour calculer , calcule .

Tu viens définir ta suite à l'aide d'une relation de récurrence et de son terme initial :
.

:+++:

Vlarck !
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par Vlarck ! » 29 Avr 2012, 21:59

Dinozzo13 a écrit:Salut !

Ca va peut-être te sembler bête, mais, pour pouvoir exprimer en fonction de , encore faut-il calculer :++:
Une fois cela fait, tu peut en déduire en fonction de assez facilement.
( est une somme de terme et est la somme de dont de ces termes sont exactement les même que dans ).
Enfin pour calculer , calcule .

Tu viens définir ta suite à l'aide d'une relation de récurrence et de son terme initial :
.

:+++:


Okidoki merci beaucoup :we:

Bon alors j'ai cherché et en gros et trouvé :
Un=n²
Un+1= (n+1)²
U1= 1

Mais même quand j'ai Un+1 je vois pas comment on peut en déduire Un+1 en fonction de Un... Je connais pas la méthode. Désolé hein, :lol3:

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 29 Avr 2012, 22:09

Attention !

est la somme des carrés des entiers .

Vlarck !
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par Vlarck ! » 29 Avr 2012, 22:15

Dinozzo13 a écrit:Attention !

est la somme du carré de l'entier jusqu'à l'entier .


Aaaah oui !

Si Un = n²+(n-1)²+...+2²+1² alors Un+1=(n+1)²+n²+...+3²+2². C'est ça ?

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 29 Avr 2012, 23:33

oui voilà.

Là, ne vois-tu pas qu'il y a dans ?

Vlarck !
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par Vlarck ! » 29 Avr 2012, 23:44

Ah mais oui ! On dirait donc là que
Un+1=Un+(n+1)²-1.
C'est bon ?

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 30 Avr 2012, 00:28

Vlarck ! a écrit:Ah mais oui ! On dirait donc là que
Un+1=Un+(n+1)²-1.
C'est bon ?

Bonsoir,
Il vient d'où ce -1 ?

Vlarck !
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par Vlarck ! » 30 Avr 2012, 00:38

On a :

Un = n²+(n-1)²+...+2²+1² et Un+1=(n+1)²+n²+...+3²+2².
Le 1 s'est fait enlever non ?

antonyme
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par antonyme » 30 Avr 2012, 00:52

Vlarck ! a écrit:On a :

Un = n²+(n-1)²+...+2²+1² et Un+1=(n+1)²+n²+...+3²+2².
Le 1 s'est fait enlever non ?

Salut!
1 fait partie des entier de 1 à n mais il fait également partie des entier de 1 à n+1 (pourquoi tu l'as exclut ce pauvre petit 1 :cry: )

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 30 Avr 2012, 00:53

Bah wé, le pauvre quoi, c'est de la discrimination ! :hum:

Vlarck !
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par Vlarck ! » 30 Avr 2012, 01:04

Je suis un monstre :cry: Mais c'est bien fait vu que j'aime pas les 1. :bad3:

Alors on a Un+1= Un +(n+1)² et U1= 1

Pour la 2) donc... W1= 1
Wn+1-Wn=((n+1)(n+2)(2n+3)-n(n+1)(2n+1))/6=(6n²+12n+6)/6=(n+1)²

Ainsi, Wn+1=Wn+(n+1)²

Et donc pour la 3), on se sert de la propriété donnée pour donc dire que :
n
;)k²= n(n+1)(2n+1)/6
k=1

Bon bah voila voila.. :zen: Merci à tous ! My life is saved !

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 30 Avr 2012, 01:29

Vlarck ! a écrit:Je suis un monstre :cry: Mais c'est bien fait vu que j'aime pas les 1. :bad3:

Alors on a Un+1= Un +(n+1)² et U1= 1

Pour la 2) donc... W1= 1
Wn+1-Wn=((n+1)(n+2)(2n+3)-n(n+1)(2n+1))/6=(6n²+12n+6)/6=(n+1)²

Ainsi, Wn+1=Wn+(n+1)²

Et donc pour la 3), on se sert de la propriété donnée pour donc dire que :
n
;)k²= n(n+1)(2n+1)/6
k=1

Bon bah voila voila.. :zen: Merci à tous ! My life is saved !

Yeah ! :++:

 

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