Sommes des carrés d'entiers consécutifs [ résolu ]

[The Rapace]

Bonjours, j'ai un dm a faire pour lundi et je n'arrive pas a comprende l'un des deux exercices. Merci de m'aider.

1. Determiner le polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x) = x² et P(1) = 0.
2. Démontrer que pour tout entier n >= 1,
1²+2²+ ... +n² = P(n+1)
3. En deduire la somme des carrés des :

a) 10 premiers entiers superieurs ou égaux à 1;
b) 100 premiers entiers superieurs ou égaux à 1.


:hum:

[uztop]

Bonsoir,

pour la première partie, il faut remplacer P(x) par ax^3+bx²+cx+d
(et aussi P(x+1) = a(x+1)^3+b(x+1)² +c(x+1) +d)
Ensuite par identification des termes de même degré, tu auras un système d'équations à résoudre (n'oublie pas d'utiliser aussi P(1) = 1)

Pour la deuxième question, il faut faire un raisonnement par récurrence.

[yvelines78]

bonsoir,

P(x)=ax^3+bx²+cx+d
P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d
p(x+1)-P(x)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax^3+bx²+cx+d)
développe et regroupe les termes puis identifie
a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax^3+bx²+cx+d)=x²

on trouve P(x)=x^3/3-x²/2+x/6+d
P(1)=1/3-1/2+1/6+d=0
donc
P(x)=x^3/2-x²/2+x/6

[The Rapace]

je ne vois pas comment on trouve ce resultat pour P, pourriez vous detailler le calcul ? merci

[raito123]

détaillé quoi ? ou est la partie que tu n'a pas saisi dans

P(x)=ax^3+bx²+cx+d
P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d
p(x+1)-P(x)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax^3+bx²+cx+d)
développe et regroupe les termes puis identifie
a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax^3+bx²+cx+d)=x²

on trouve P(x)=x^3/3-x²/2+x/6+d
P(1)=1/3-1/2+1/6+d=0
donc
P(x)=x^3/2-x²/2+x/6

[The Rapace]

la partie developpe et regroupe les termes puis identifie. Je ncomment on trouve le resultat de la fin. merci

[The Rapace]

S'il vous plait ! :triste:

[raito123]

bah tu developpe et puis tu soustrais tu additionne jusqu'à ce que tu obtienne la formule voulu

[The Rapace]

Oui mais aprés comment on trouve P(x)=x^3/3-x²/2+x/6+d ?

[raito123]

on trouve P(x)=x^3/3-x²/2+x/6+d
P(1)=1/3-1/2+1/6+d=0
donc
P(x)=x^3/2-x²/2+x/6

tu remplace 1 dans la formule que tu as trouvé et qui doit egaler 0 car p(1)=0
et tu as une equation a un seul inconnu tu trouvera d=0

[The Rapace]

Oui sa j'ai compris mais je ne comprend pas comment on passe de la grosse expression à P(x)=x^3/3-x²/2+x/6+d. Je n'arrive pas a retrouver les etapes intermediaires.

[The Rapace]

Quelqu'un peut m'aider ??

[The Rapace]

En faite, je voudrais savoir comment on passe de : a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-(ax^3+bx²+cx+d)=x² à : x^3/3-x²/2+x/6+d. Merci

[The Rapace]

Personne n'a d'idées ?