Calcul de la sommes des cubes... (avec les suites)?

[choupiflou]

J'ai du mal avec ce problème, vous pouvez m'aider?
Pour tout entier n,n >(ou egal) 1, on note Un (petit n) la somme des entiers de 1 à n et on construit la suite des carrés emboités C1, C2, ... Cn ( Cn a pour coté Un)
a) Calculé l'aire des carrés C1, C2 , C3
b) démontrer que pour tout entier n,n>(ou égal), l'aire du carré Cn est égale à n²(n+1)²/4
c) En déduire que pour tout entier n, n>1, l'aire de la bande bleue délimité par les carrés Cn et Cn-1 est égale à n^3
2)a) En déduire que tout entier n,n> ( où égal) 1^3 +2^3+....+n^3 = (1+2+...+n)²


1a--> je sais comment on calcul l'air d'un carré= c² mais je n'arrive pas à comprendre comment faire avec Un...
1b--> je sais que n est la somme de 1 à n mais je ne vois pas comment on en arrive là

[Carpate]

J'ai du mal avec ce problème, vous pouvez m'aider?
Pour tout entier n,n >(ou egal) 1, on note Un (petit n) la somme des entiers de 1 à n et on construit la suite des carrés emboités C1, C2, ... Cn ( Cn a pour coté Un)
a) Calculé l'aire des carrés C1, C2 , C3
b) démontrer que pour tout entier n,n>(ou égal), l'aire du carré Cn est égale à n²(n+1)²/4
c) En déduire que pour tout entier n, n>1, l'aire de la bande bleue délimité par les carrés Cn et Cn-1 est égale à n^3
2)a) En déduire que tout entier n,n> ( où égal) 1^3 +2^3+....+n^3 = (1+2+...+n)²


1a--> je sais comment on calcul l'air d'un carré= c² mais je n'arrive pas à comprendre comment faire avec Un...
1b--> je sais que n est la somme de 1 à n mais je ne vois pas comment on en arrive là

C'est du classique ( et cette méthode a été trouvée par Gauss à 8 ans !)
: somme des n premier entiers

En regroupant les termes extrêmes 2 à 2, on obtient sommes de 2 termes qui valent chacune n+1 :




Et l'aire de la bande bleue vaut
Je te ferais pas l'injure de faire à ta place ce petit calcul qui donne !

2° Ecris :


.........

et ajoute membre à membres ces n relations. Il ne devrais rester à gauche que et , c'est ce que l'on appelle une somme télescopique.

[choupiflou]

C'est du classique ( et cette méthode a été trouvée par Gauss à 8 ans !)
: somme des n premier entiers

En regroupant les termes extrêmes 2 à 2, on obtient sommes de 2 termes qui valent chacune n+1 :




Et l'aire de la bande bleue vaut
Je te ferais pas l'injure de faire à ta place ce petit calcul qui donne !

Ah merci je comprends mieux! MErci beaucoup si je coince autre part je te fais signe. Bonne journée

[siger]

Bonjour,

J'ai du mal avec ce problème, vous pouvez m'aider?
Pour tout entier n,n >(ou egal) 1, on note Un (petit n) la somme des entiers de 1 à n et on construit la suite des carrés emboités C1, C2, ... Cn ( Cn a pour coté Un)
a) Calculé l'aire des carrés C1, C2 , C3
b) démontrer que pour tout entier n,n>(ou égal), l'aire du carré Cn est égale à n²(n+1)²/4
c) En déduire que pour tout entier n, n>1, l'aire de la bande bleue délimité par les carrés Cn et Cn-1 est égale à n^3
2)a) En déduire que tout entier n,n> ( où égal) 1^3 +2^3+....+n^3 = (1+2+...+n)²


1a--> je sais comment on calcul l'air d'un carré= c² mais je n'arrive pas à comprendre comment faire avec Un...
1b--> je sais que n est la somme de 1 à n mais je ne vois pas comment on en arrive là

Il me semble que la reponse suppose que l'on sache calculer Un la somme des n premiers nombres
Un = n(n+1)/2 ****
Le premier carré a pour surface C1 = U1²
le second : C2 = U2² = ( U1+2)²
...
d'ou Cn = Un² = n²*(n+1)²/4

Cn - C(n-1) = (n²/4)*((n+1)²-(n-1)²)= n³

le dernier carré de surface Un² = (n*(n+1)/2)² est egal a la somme des bandes comprises entre Ci et C(i+1) c'est a dire ( 1+2³+3³+...+n³)



****
en ecrivant S = 1+2+3+..+(n-1)+n et S= n+(n-1)+. ..+3+2+1 et en ajoutant les deux valeurs on obtient
2S = (1+n) + [2+(n-1) ]+ ...+ [(n-1)+2] + n+1 = n*(n+1)

[choupiflou]

Merci, Vos réponses m'ouvrent complétement les yeux. :)