Somme et produit des racines

[ghirlandaio]

Bonjour, bonsoir à tous,
Voici un DM que j'ai, à faire pour vendredi. Je pense avoir réussi dans l'ensemble, sauf la 2a) pour l'histoire de la racine ? Sinon, je souhaiterais être corrigé pour le reste.
Merci d'avance pour vos réponses.

Exercice :

1. Démontrer que :
a. x1+x2 = -b/a
b. x1x2= c/a

2. Application des résultats 1a et 1b :

a. Vérifier que 1/2 est solution de l'équation 4x²+4x-3 = 0, puis calculer l'autre racine. Ne pas calculer delta pour cette question.

b. Trouver les deux solutions de l'équation x²+5x-6 = 0 sans calculer delta.

c. Trouver deux nombres (s'ils existent) dont la somme est 12 et le produit -85.

Mes réponses :

1a. x1+x2 = -b-Vdelta /2a + -b+ Vdelta
= -2b /2a
= -b/a

1b. x1x2 = -b-Vdelta /2a * -b+ Vdelta
= b²-Vdelta²/ 4a²
= b²- (Vb²-4ac)²
= (-b² + delta) /4a² = 4ac / 4a² = c/a

2a.4*(1/2)²+4*1/2-3 = blabla = 3-3 =0

2b.x²+5x-6 = 0
x²+5x = 6
x(x+5) = 6

x = 6

ou

(x+5) = 6 <=> x= 6-5 = 1

S = (1;6)

2c) S = 12

S/0 = 6 et donc d² = 6² -(-85)
= 36+85 = 21

Donc d = V121 = 11

Donc x = 6+11 = 17 et y = 6-11 = -5

[hammana]

Bonjour, bonsoir à tous,
Voici un DM que j'ai, à faire pour vendredi. Je pense avoir réussi dans l'ensemble, sauf la 2a) pour l'histoire de la racine ? Sinon, je souhaiterais être corrigé pour le reste.
Merci d'avance pour vos réponses.

Exercice :

1. Démontrer que :
a. x1+x2 = -b/a
b. x1x2= c/a

2. Application des résultats 1a et 1b :

a. Vérifier que 1/2 est solution de l'équation 4x²+4x-3 = 0, puis calculer l'autre racine. Ne pas calculer delta pour cette question.



b. Trouver les deux solutions de l'équation x²+5x-6 = 0 sans calculer delta.

c. Trouver deux nombres (s'ils existent) dont la somme est 12 et le produit -85.

Mes réponses :

1a. x1+x2 = -b-Vdelta /2a + -b+ Vdelta
= -2b /2a
= -b/a

1b. x1x2 = -b-Vdelta /2a * -b+ Vdelta
= b²-Vdelta²/ 4a²
= b²- (Vb²-4ac)²
= (-b² + delta) /4a² = 4ac / 4a² = c/a

2a.4*(1/2)²+4*1/2-3 = blabla = 3-3 =0

2b.x²+5x-6 = 0
x²+5x = 6
x(x+5) = 6

x = 6

ou

(x+5) = 6 x= 6-5 = 1

S = (1;6)

2c) S = 12

S/0 = 6 et donc d² = 6² -(-85)
= 36+85 = 21

Donc d = V121 = 11

Donc x = 6+11 = 17 et y = 6-11 = -5

L'essentiel est de comprendre qu'une équation du 2d degré ayant pour racines x1 et x2 s'écrit:
a(x-x1)(x-x2)=0. Il est évident que cette expressions s'annule pour x=x1 et x=x2
Si on développe cette expression on obtient

Si on désigne par s la somme des racines et p leur produit l'équation s'écrit

on déduit de suite que -as=b, ap=c ou s=-b/a, p=c/a. Il n'est pas nécessaire de passer par le déterminant
Queqstion 2a - la somme des racines est -1, si l'une vaut 1/2 l'autre vaut -3/2, on obtient le même résultat si on considère le produit. Vérifier que l'équation peut s'écrire
4(x-1/2)(x+3/2)=0

Question b
On devine sans calculer delta que 1 est racine de l'équation, la somme étant -5 et le produit -6, l'autre racine est -6
vérifier que x2+5x-6=(x-1)(x+6)

Question c
s=12, p=-85
les nombres cherchés sont racines de l'équation x2-sx+p=0 ou x2 -12x-85=0

[titine]

Bonjour, bonsoir à tous,
Voici un DM que j'ai, à faire pour vendredi. Je pense avoir réussi dans l'ensemble, sauf la 2a) pour l'histoire de la racine ? Sinon, je souhaiterais être corrigé pour le reste.
Merci d'avance pour vos réponses.

Exercice :

1. Démontrer que :
a. x1+x2 = -b/a
b. x1x2= c/a

2. Application des résultats 1a et 1b :

a. Vérifier que 1/2 est solution de l'équation 4x²+4x-3 = 0, puis calculer l'autre racine. Ne pas calculer delta pour cette question.

b. Trouver les deux solutions de l'équation x²+5x-6 = 0 sans calculer delta.

c. Trouver deux nombres (s'ils existent) dont la somme est 12 et le produit -85.

Mes réponses :

1a. x1+x2 = -b-Vdelta /2a + -b+ Vdelta
= -2b /2a
= -b/a

1b. x1x2 = -b-Vdelta /2a * -b+ Vdelta
= b²-Vdelta²/ 4a²
= b²- (Vb²-4ac)²
= (-b² + delta) /4a² = 4ac / 4a² = c/a

2a.4*(1/2)²+4*1/2-3 = blabla = 3-3 =0

Jusque là l'idée est correcte bien que tes calculs soient mal écrits (manque des parenthèses)

Pour trouver la deuxième racine applique le 1.
Tu sais que :
x1+x2 = -b/a = -4/4 = -1 Donc 1/2 + x2 = -1 Donc x2 = -3/2
Tu remarques au passage qu'on a bien : x1x2 = c/a = -3/4 car 1/2 * (-3/2) = -3/4

2b.x²+5x-6 = 0
x²+5x = 6
x(x+5) = 6

x = 6

ou

(x+5) = 6 x= 6-5 = 1

S = (1;6)

Oh non !
x(x+5) = 6 ne signifie pas x = 6 ou x+5 = 6 !

A * B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0 (un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul)

Mais A * B = 6 n'équivaut pas à A = 6 ou B = 6 !!
On peut avoir A = 2 et B = 3 ou A = 1 et B = 6 ou A = -1 et B = -6 ou A = 0,6 et B = 10 ou .........

La consigne est :

2. Application des résultats 1a et 1b :

Donc, ici, x² + 5 x - 6 = 0
a=1 ; b=5 ; c=-6
Donc x1 + x2 = -5 et x1 * x2 = -6
Tu cherches 2 nombres dont la somme est égale à -5 et le produit à -6.
-6 + 1 = -5 et -6 * 1 = -6
Les 2 solutions de l'équation sont donc -6 et 1.

2c) S = 12

S/0 = 6 et donc d² = 6² -(-85)
= 36+85 = 21

Donc d = V121 = 11

Donc x = 6+11 = 17 et y = 6-11 = -5

Je ne comprends pas bien ton raisonnement ...
S/0 ??????
Mais ton résultat est exact 17 et -5 ont bien pour somme 12 et pour produit -85.

[ghirlandaio]

Pour la dernière question, j'avais trouvé la méthode sur ce lien : http://www.mathforu.com/cours-98.html
Dois-je rédiger autrement ?