Solution d'équation encadrement

[marocain94]

merci d'avance pour votre aide:

verifier que l'équation 3x^4+4x³-12x²+5=0 admet une unique solution x0 dans l'intervalle [-1,0] donner un encadrement d'amplitude 10^-² de xo a l'aide de la calculatrice.

[Zebulon]

Bonjour,
posons . On veut montrer que f s'annule une et une seule fois sur l'intervalle [-1,0]. Il suffit d'étudier f sur cet intervalle et d'utiliser le théorème de la bijection. Pour l'utiliser, il faut vérifier ses hypothèses, à savoir que f est :

• continue sur [-1,0],
• strictement monotone sur [-1,0],
• f(-1) et f(0) sont de signe oppposé.

[marocain94]

f(-2)= -10, f(0) = 5

[Zebulon]

C'est f(-1) qui nous intéresse. Et qu'en est-il des deux autres hypothèses ? (sans elles, on ne peut absolument pas conclure)

[marocain94]

que veut dire strictement monotone sur [-1,0]

[marocain94]

et c'est f(-1)=-10 non pas f(-2)

[marocain94]

f(-1) =-10 et f(0)=5 donc f(-1) et f(0) sont de signe oppposé

[Zebulon]

Je trouve f(-1)=-8.
f strictement montone sur [-1,0] signifie que f est strictement croissante sur cet intervalle ou f est strictement décroissante sur cet intervalle. Pour le montrer, il suffit d'étudier les variations de f.
Il faut aussi montrer que f est continue sur cet intervalle.

[marocain94]

f est derivable sur [-1,0]
f est strictement croissante sur [-1,0] ( dapré le tablo de variation)
0 est compris entre f(-1) et f(0)
donc l'équation 3x^4+4x³-12x²+5=0 admet une unique solution xo dans [-1,0]

[Zebulon]

La dérivabilité n'est pas nécessaire. Le théorème des valeurs intermédiaires ne demande que la continuité. Cependant, la dérivabilité est suffisante car "dérivable implique continue" (phrase à connaître par coeur). Par ailleurs, quand on utilise un théorème, il faut l'énoncer !
Je dirais donc :

f est derivable sur [-1,0] donc f est continue sur [-1,0]
f est strictement croissante sur [-1,0] ( d'après le tableau de variations :happy3: )
0 est compris entre f(-1) et f(0)
donc d'après le théorème de la bijection l'équation f(x)=0 c'est-à-dire 3x^4+4x³-12x²+5=0 admet une unique solution xo dans [-1,0]

et ce sera parfait ! :we:

[marocain94]

a ok merci, et aprés pour lencadrement avec la calculatrice je sait qu'il faut utliser le tableur mais je ne sait pa comment

[marocain94]

a ok merci, et aprés pour lencadrement avec la calculatrice je sait qu'il faut utliser le tableur mais je ne sait pa comment

[Zebulon]

On rentre l'équation de la onction, on règle le pas du tableur sur 0,1 et on regarde à partir de -1.
On a donc :
-1 | f(-1)
-0,9 | f(-0,9)
-0,8 | f(-0,8)

-0,1 | f(-0,1)
0 | f(0)
On regarde entre quels nombres ça change de signe. Ca donne un encadrement à près.
On se place dans ce nouvel intervalle et on règle le pas sur 0,01. On cherche à nouveau quand ça change de signe et ça donne un encadrement de à près.

[marocain94]

j'ai taper a la calculatrice tout sa, et je vois a x=-0.62 y=-0.12 et a x=-0.61 y=0.042 c'est bien sa ?

[Zebulon]

j'ai taper a la calculatrice tout sa, et je vois a x=-0.62 y=-0.12 et a x=-0.61 y=0.042 c'est bien sa ?

Je ne peux pas vérifier car je n'ai plus de calculatrice, mais si c'est correct, quelle conclusion en tirer ?

[marocain94]

donc l'équation admet une unique solution xo dans [-1,0] :
-0.7 -0.61
f(-0.61)= 0.4225123 > 0
f(-0.62)= -0.12282192 < 0

[Zebulon]

donc l'équation admet une unique solution xo dans [-1,0] :
-0.7 0
f(-0.62)= -0.12282192 < 0

Il y a une erreur dans l'inégalité rouge. A part ça, c'est tout compris ! :happy3:

[marocain94]

euh oui erreur béte j'ai inverser comme j'ai taper sa trop vite c'est -0.62

[Zebulon]

C'est ça !

[marocain94]

Merci pour ton aide, j'ai une autre question si sa ne te dérange pas pour le meme exercice , apré avoir étudier le sens de variations de la fonction
f(x)= 3x^4+4x^3-12x²+5 , on me demande de construire C apré avoir determiné les coordonnées de quelques points; et d'utiliser la courbe pour donner le nombre de solutions de chacune des équations suivantes : 3x^4+4x^3-12x²+5 =10 ;
3x^4+4x^3-12x²+5 =-18 ; 3x^4+4x^3-12x²+5 =50.
j'ai construit C grace au tableau de variations et de signes mais aprés je suis bloquer