Encadrement solution d'équations et fonctions continues.

[Nadateam]

Bonjour à tous,

Voilà j'ai un exos de terminale S sur les les encadrements de solutions d'équations et sur les fonctions continues. J'ai compris le principe mais je ne parviens pas à avancer dans ce genre de situation:

L'énoncé est: Démontrer que l'équation cos(2x)=x admet une unique solution réelle et déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de cette solution.

J'ai dit : soit f la fonction f définie sur IR par f(x)=cos(2x)-x continue et dérivable.

Je fais la dérivée : f'(x)=-2(sin(2x))-1 et c'est là que je bloque: je vois sur la calculatrice qu'il faut démontrer que Cf est strictement croissante sur IR donc strictement monotone et ainsi qu'elle admet une unique solution.

Je vous remercie d'avance.
Nadateam.

[Ericovitchi]

oui c'est à peu près ça. Tu étudies la fonction cos(2x)-x
la dérivée n'est pas négative tout le temps mais elle l'est entre -pi/12 et 7pi/12
(il faut étudier le signe de -2(sin(2x))-1 donc résoudre -2(sin(2x))-1 <0 par exemple)

Bref ça te donne un portion où la fonction cos(2x)-x décroit et change de signe :

ce qui te permet de dire qu'elle a une solution entre ces bornes

[bacha]

salut
essaie de de pence comme ça :
f(2)si cela est just donc f a une unique solution réelle

[Nadateam]

Merci de vos réponses

Si j'étudie le signe de -2(sin2x)-1<0
-2(sin2x)<1
sin(2x)>-(1/2)


mais voilà comment trouver x ? avec le cercle trigonométrique peut être ?

[Ericovitchi]

ben oui. Quand est-ce qu'un sinus est plus grand que -1/2 ?

[Nadateam]

Excuse moi je ne saisis pas tout. Je n'arrive pas a voir comment tu trouves 12, -pi, pi

[Ericovitchi]

12, -pi, pi ??? je ne vois pas de quoi tu parles ?


un sinus est plus grand que -1/2 si l'angle est entre -pi/6 et pi+pi/6
et comme c'est 2x c'est donc si l'angle est entre -pi/12 et pi/2+pi/12 =7pi/12

[Nadateam]

Ah d'accord !! excuse moi je suis étourdi. A présent il faut mettre ces valeurs dans le tableau et en déduire que la courbe admet une unique solution dans cet intervalle puisqu'elle est strictement monotone (décroissante. Pour la valeur de la solution je peux procéder par zoom avec la calculatrice non ?

[Nadateam]

Il y a quelque chose qui me dérange : sur ma calculatrice la courbe de f(x) est strictement décroissante alors qu'avec ta méthode elle est croissante sur ]-oo;-pi/12[ puis décroissante entre -pi/12 et 7pi/12 puis croissante sur ]7pi/12;+oo[

[Ericovitchi]

Question d'échelle ou de zoom ?

non c'est pas vrai ça : " elle est croissante sur ]-oo;-pi/12[ puis décroissante entre -pi/12 et 7pi/12 puis croissante sur ]7pi/12;+oo["
elle continue à faire des vagues .

regardes si je te la zoom d'un peu plus loin :


D'ailleurs tu devrais trouver la réponse tout seul, dès que le sinus redevient < -1/2 elle regrimpe un petit coup.