Soient a et b 2 entiers naturels impairs

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Charlotte65
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Soit n un nbr entier naturel

par Charlotte65 » 16 Oct 2021, 13:10

Montrer que n^2 -1 est divisible par 8

Svp je dois faire comment ?



catamat
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Re: Soit n un nbr entier naturel

par catamat » 16 Oct 2021, 13:34

Bonjour
C'est vrai si n est impair mais pas pour tout n, ex n=6, n²-1=35 qui n'est pas multiplede 8

Charlotte65
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Re: Soit n un nbr entier naturel

par Charlotte65 » 16 Oct 2021, 13:49

J'avais oublié de présiser que n est impair
J'ai trouvé le début

Puisque n est impair alors n = 2k+1
8= (n^2-1)K
Alors
((2k+1)^2-1)k
K(4k^2+4k)
4k^3+2k^2

2(2k^3+2k^2)

J'ai juste montré que que le produit est pair mais jsp cmt faire pour la suite

beagle
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Re: Soit n un nbr entier naturel

par beagle » 16 Oct 2021, 13:57

Bonjour Charlotte,
n²-1 = (n-1)(n+1)
n impair, alors n-1 et n+1 sont pairs
deux entiers pairs consécutifs alors
un est juste pair,
l'autre est doublement pair = multiple de 4

catamat
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Re: Soit n un nbr entier naturel

par catamat » 16 Oct 2021, 17:10

Charlotte65 a écrit:Puisque n est impair alors n = 2k+1


Oui c'est un bon début, avec k est entier bien sûr
n²-1=4k²+4k+1-1=4(k²+k)=4k(k+1)

Or le produit k(k+1) est forcément pair puisque l'un de deux facteurs est pair...
k(k+1)=2p, avec p entier
d'où la conclusion

Charlotte65
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Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par Charlotte65 » 16 Oct 2021, 18:01

Montrer que a⁴ plus b⁴ - 2 est un multiple de 16

G mis a= 2k+ 1
Et b =2h+1
Puis g devloppé et factorisé par 2 je ne sais plus quoi faire aidez moi svp

beagle
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par beagle » 16 Oct 2021, 18:19

tu dois utiliser la question précédente
tu sais maintenant que a²-1 est multiple de 8
(a²-1) (a²-1) est divisible par?
...

Charlotte65
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par Charlotte65 » 16 Oct 2021, 18:42

Par 8 ,

beagle
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par beagle » 16 Oct 2021, 18:45

euh chacun 8, les deux ensembles?

GaBuZoMeu
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par GaBuZoMeu » 16 Oct 2021, 18:48

Bonjour,

C'est plutôt qui va être utile ici.

Charlotte65
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par Charlotte65 » 16 Oct 2021, 18:54

Et pour les enoncés ?

GaBuZoMeu
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par GaBuZoMeu » 16 Oct 2021, 19:15

Que veut dire ta question ?

Ma remarque, c'est que

Charlotte65
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par Charlotte65 » 16 Oct 2021, 19:18

C ce que j'ai fait, G remplacé a par 2k+1 et b par 2h+1

beagle
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par beagle » 16 Oct 2021, 19:50

depuis la prmiere question tu aurais intéret à faire avec des identités remarquables
je me suis gourré en faisant du développement comme tu le fais en question 1

ici avec ce que dit GBZM
a^4-1 = (a²-1)(a²+1)
et pas besoin de 2k+1 et t'embrouiller dans les calculs
(a²-1) multiple de 8 question 1
(a²+1) multiple de 2 car a impair

Charlotte65
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par Charlotte65 » 16 Oct 2021, 20:15

Mais l'enoncé on ne l'utilisera pas ?
Ou c'était juste un indice pour trouver le a⁴-1

beagle
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par beagle » 16 Oct 2021, 20:19

Charlotte65 a écrit:Mais l'enoncé on ne l'utilisera pas ?
Ou c'était juste un indice pour trouver le a⁴-1


c'est idem pour b
donc (a^4-1) et (b^4-1) multiples de 16 alors la somme aussi
et tu retombes sur l'énoncé heureusement,
c'est préférable.

Charlotte65
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par Charlotte65 » 16 Oct 2021, 21:20

Ok donc si g compris
On a prit a²-1 de la question précédente puis le a²+1 (qu'on a sorti de nulle part) et on a fait le produit pour avoir le a⁴-1

lyceen95
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par lyceen95 » 16 Oct 2021, 23:09

Donne l'énoncé précis de l'exercice, et complet.
Ici, il y a au moins 2 façons de faire, dont une plus simple que celle proposée.
Pour 'sentir' la solution attendue par l'auteur de l'exercice, il faut avoir l'énoncé complet.

Charlotte65
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par Charlotte65 » 17 Oct 2021, 11:52

1 question
Soit n un entier naturel impairs
-Montrer que n²-2 divie 8 (fait)
-en déduire que 16 divise n⁴-1 (fait)
Question 2
Soient a et b 2 entiers naturels impairs
Montrer que a⁴+b⁴-2 est
Un multiple de 16

beagle
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Re: Soient a et b 2 entiers naturels impairs

par beagle » 18 Oct 2021, 12:00

Donc qu'avons nous appris?

Pour étudier des multiples de , des diviseurs de
la formule factorisée est préférable à la formule développée, puisque la factorisation parle déjà de produits, donc multiples ou diviseurs.
Pour factoriser il est important de bien connaitre les identités remarquables.
L'idée de mettre 2k+1 pour un nombre impair est bonne, dans le cas présent il n' y a pas urgence à le faire,
on peut voir venir et le mettre plus tard si besoin.

Le reste des démonstration c'est deux lignes, une factorisation et un commentaire sur le produit de facteur

n²- 1 = (n-1) (n+1)
n impair nous avons un produit de deux entiers pairs consécutifs, donc un entier multiple de 4 égameùent,
donc 8 divise le produit de facteur

n^4-1 = (n²-1)(n²+1)
le facteur n²-1 est multiple de 8, le facteur n²+1 est pair,
le produit de facteur est divisible par 16

a^4 + b^4 - 2 = (a^4 -1 ) + b^4-1)
les deux termes additifs sont divisibles par 16, leur somme le sera aussi.

PS: après tu peux raisonner en multiple de 16 cela signifie 16ka et16kb pour les deux termes additifs,
donc 16(ka+kb)
mais tu peux raisonner dans ta tète en multiple de 16, divisible par 16,
cela signifie que je peux faire des paquets de 16, ka paquets de 16, kb paquets de 16, j'aurais ka +kb paquet de 16
ou 16 paquets de ka et 16 paquets de kb, cela permet de faire 16 paquets de (ka+kb)
A toi de voir quel support au raisonnement , quel support à l'abstraction tu préfères.

 

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