Simple question

[Ilyaskilango]

Salut et bonsoir
Dans un exc d'implication on doit trouver que
a+b=1 implique a^2+b^2>=1/2
Et qq à supposer que a+b=1 puis il a montrer que a^2+b^2-1/2>=0
Et la première égalité avec laquel a commencer c'était
a^2+b^2-1/2=2a^2+2b^2-a-b
Comment est ce possible

[pascal16]

a+b=1
donc b= 1-a

a^2+b^2>=1/2 ?
-> on remplace b par 1-a dans a^2+b^2

[Ilyaskilango]

Ouai je sais c'était ma méthode et le forum ma beaucoup aider pour avoir le résultat
Mais est ce que
a^2+b^2-1/2=2a^2+2b^2-a-b
Si c'est juste comment on a eu ce résultat

[pascal16]

avec un "=", non

a^2+b^2-1/2=2a^2+2b^2-a-b
<=>
-1/2=a^2+b^2-a-b
soit a=0 et b=1, donc a+b=1

-1/2=0+1-0-1 est faux

[Ilyaskilango]

Merci infiniment

[Ben314]

Salut,
A la limite, ce qu'on pourrait écrire, c'est que :

Mais c'est quand même "plus que vicieux" comme façon de procéder par rapport à ce que propose pascal16...

[pascal16]

Deux solutions reproductibles niveau lycée, sans calcul de discriminant :
si a+b=1, b= 1-a
a²+b²=a²+(1-a)²=2a²-2a+1=2(a-1/2)²+1/2 >= 1/2

Pour qu'une solution ne sorte pas d'un chapeau, on peut l'expliquer. La symétrie du problème laisse à penser qu'un cheminement symétrique est bien adapté.
Deux nombres peuvent s'écrire comme leur moyenne plus ou moins la moitié de leur différence
(en géométrie, si on est au milieu, on a la moitié de la distance entre les deux point à parcourir pour aller à un point où à l'autre), soit :
a= (a+b)/2 +(a-b)/2
b= (a+b)/2 +(b-a)/2
or (a+b)/2 = 1/2
donc
a= 1/2 +(a-b)/2
b= 1/2 -(a-b)/2
a²+b²=2*(1/2)²+2*((a-b)/2)²=1/2 + (a-b)²/2 >= 1/2

Ben, comment expliquer le cheminement qui t'a conduit au résultat ?