[DM] Second Degré

[Gueshino]

Bonsoir.

J'ai un devoir maison à faire pour jeudi. J'ai fais les trois premières questions, mais je bloque à la quatrième. Voici l'exo en question.

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Une unité de production est sous traitant pour une grande marque de jouets.
Elle fabrique des poupées et vend toute sa production.
Le coût total de fabrication de q milliers de poupées est donné par:
C(q)=0.05q²+q+80 pour q appartient à [0;100]
et C(q) est donné en milliers d'€ (k€).

1°a) Etudier le sens de variation du coût total.
b) Résoudre l'équation C(q)=480.
En donner une interprétation concrète.

2° Le chiffre d'affaires R obtenu par la vente des q milliers de
pôupées produites est tel que :
R(50)=300 et R(60)=360, c-a-d que 60 milliers de poupées
apportent 360k€ de recette.
Sachant que le chiffre d'affaire est une fonction affine de la quantité,
déterminer cette fonction affine R.

3° On considère la fonction B définie sur [0;100] par:
B(q)=-0.05q²+5q-80.
a) etablir que la fonction b est la fonction bénéfice de cette usine
pour la production (et vente), de q milliers de poupées.
b) Determiner le sens de variation de la fonction B.
En déduire le nombre de poupées à produire pour que le bénefice soit
maximal.
c) Determiner la plage de production qui permet de réaliser un benefice
(c-a-d B(q) positif ou nul).

4° dans le meme repere orthogonal, bien choisi, representer les fonctions
C et R et placer tous les points mis en valeur au cours des questions
precedentes.
Mettre en couleur la plage de production qui permet de realiser un benefice.
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Voila ce que j'ai trouvé comme réponses aux questions (je vous les donne sans rédaction).

1° a) Dérivée: C'(q)= 0,1q+1

Etude signe: C'(q) >0
0,1q+1 >0
0,1q > -1
q > -1/0.1
q > -10

C'(q)=0 ssi q=-10, impossible car -10 n'appartient pas [0;100]
C'(q)<0 ssi q<-10, impossible car les nombres de l'intervalle ]-infini;-10] n'appartiennent pas à l'intervalle [0;100].
C'(q)>0 ssi q>-10, ce qui est le cas puisque q appartient [0;100] et donc q>-10.

q appartient [0;100] , donc q>-10 et donc C est strictement croissant sur [0;100]
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b) C(q)=480
0,05q²+q+80=480
0,05q²+q-400=0 <-- *20 pour simplifier de 0,05 à 1
q²+20q-8000=0

Delta = b²-4ac
Delta = 20²-4*(-8000*1)
Delta = 20²+4*8000
Delta = 32400
Racine delta = 180
Delta >0 donc 2 racines:

q1= (-20-180)/2 = -200/2 = -100
q2= (-20+180)/2 = 160/2 = 80

Seule racine valable économiquement = racine positive = 80
Donc C(80)=480 , càd que pour 80 000 poupées produites, le cout de production est de 480 000€.
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2° fonction affine: f(x)= a*x +b

R(50)=300 --> 300= 50a+b
R(60)=360 --> 360= 60a+b

On résout: -10a= -60
a= -60/-10
a= 6

300= 50*6 + b = 300 + b = 300 + 0
360= 60*6 + b = 360 + b = 360 + 0

donc a=6 et b=0

On remplace la forme de fonction affine de base F(x)=ax+b par les valeurs de l'exercice:

R(q)= 6*q+0
R(q)= 6q

on a déterminé la fonction affine R : R(q)=6q.
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3° a) Bénéfice= Recette - cout de production

Si B est la fonction bénéfice, alors elle souscrit à la formule de calcul du bénéfice. Vérifions:

B(q)= R(q) - C(q)
B(q)= 6q - (0,05q²+q+80)
B(q)= -0.05q²+5q-80

on retrouve bien la fonction B de l'énoncé, résultant de la différence entre le chiffre d'affaire R(q) et le cout de production C(q)
donc B(q) correspond à la fonction bénéfice de cette usine pour q exprimé en milliers de poupées produites.
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b) B(q)= -0,05q²+5q-80 définie sur [0;100]

Dérivée: B'(q)= 2*(-0.05q)+5
B'(q)= -0.1q+5

étude signe: B'(q)>0
-0.1q+5>0
-0.1q>-5
q< -5/-0.1
q<50

B'(q)=0 ssi q=50, qui appartient à [0;100]. B'(q) sera donc maximum pour q=50.
B'(q)<0 ssi q>50, càd que B'(q) décroissante lorsque q appartient ]50;+infini[
B'(q)>0 ssi q<50, càd que B'(q) croissante lorsque q appartient ]-infini;50[

Donc: B(q) croissante sur [0;50[ (q<50)
B(q) maximum sur [50;50] (q=50)
B(q) décroissante sur ]50;100] (q>50)

B(50)= -0.05*50²+5*50-80
B(50)= -0.05*2500+250-80
B(50)= -125+170
B(50)= 45

Bénéfice maximal pour 50 000 poupées produites = 45 000€
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c) l'usine fait un bénéfice lorsque B(q)>0

B(q)= -0.05q²+5q-80

Delta= b²-4ac
Delta= 5²-4*(-0.05)(-80)
Delta= 25-4*4
Delta= 25-16
Delta= 9

Delta >0 donc 2 racines:

q1= (-5-3)/2*(-0.05) = -8/-0.1 = 80
q2= (-5+3)/2*(-0.05) = -2/-0.1 = 20

B(q)=0 si q=20 ou q=80

Donc B(q)>0 si q appartient ]20;80[

Donc l'usine génère un bénéfice si la production est supérieure à 20 000 poupées et inférieure à 80 000 poupées.
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Voila ce que j'ai trouvé, corrigez-moi si erreur il y a.
Je n'arrive donc pas à faire la question 4, pouvez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

Merci d'avance et bonne soirée :)

[Sve@r]

Je n'arrive donc pas à faire la question 4, pouvez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

Attends !!! Tout ce qu'il y a de plus difficile tu le fais nickel (bon j'ai pas regardé en détail mais tu sembles tellement bien maitriser que même s'il y a une erreur de calcul tu ne perdras qu'un pouillème de point) et t'arrives pas à tracer les courbes ???

Le sens de variation déjà devrait t'aider. La fonction initiale 0,05q² + q + 80 est une parabole orientée ves le haut (car 0,05 est positif) qui est décroissante entre -inf et x=-b/2a puis croissante de l'autre coté.
Et l'autre fonction -0,05q²+5q-80 est une parabole orientée vers le bas (-0,05) qui est donc croissante jusqu'à x=-b/2a puis décroissante

[Timothé Lefebvre]

Salut,

allez, un petit coup de Google :id:

[url="http://www.ilemaths.net/forum-sujet-264671.html"]http://www.ilemaths.net/forum-sujet-264671.html[/url]

[url="http://maths-forum.com/showthread.php?t=76508"]http://maths-forum.com/showthread.php?t=76508[/url]

Tu peux peut-être mettre tes résultats en corrélation ?

EDIT : Aïe, je cours-circuite Sv@r, sorry.

[Sve@r]

Salut,

allez, un petit coup de Google :id:

[url="http://www.ilemaths.net/forum-sujet-264671.html"]http://www.ilemaths.net/forum-sujet-264671.html[/url]

[url="http://maths-forum.com/showthread.php?t=76508"]http://maths-forum.com/showthread.php?t=76508[/url]

Arf. Maintenant je comprends mieux comment/pourquoi il s'en est si bien sorti.

C'est juste pour demander s'il n'y a pas quelqu'un qui pourrait me faire la 4/ avec le repere, j'y ai bossé pas mal de temps sur ce dm donc si quelqu'un veut bien faire cette question car là j'suis un peu fatigué

Superbe. Je me demande s'ils le lui feront là bas...

EDIT : Aïe, je cours-circuite Sv@r, sorry.

Pas de pb. De toute façon je ne vais pas m'éterniser dans ce topic.

[Timothé Lefebvre]

Pareil, j'ai regardé un peu les réponses du mec de l'île ...
D'où ma super idée de mettre en relation les données.

[Gueshino]

Je ne nie pas avoir survolé, demandé de l'aide à gauche à droite.
Mais au moins j'ai compris d'où venaient les réponses qu'on me donnait, et j'ai retenu les procédés à utiliser.

Le problème étant que justement je ne sais pas comment représenter ces mêmes réponses sur un repère orthogonale, si vous pourriez m'aider s'il vous plait :s

Je demande pas la réponse, juste la méthode à utiliser. Merci d'avance

[Gueshino]

Désolé du double-post, c'est juste que je viens de remarquer que par " mettre en corrélation " j'ai cru comprendre que je suis cette même personne de l'île...

Or ce n'est pas moi, sachant que le sujet à été traité une dizaine de fois sur l'ile, mais le repère n'ayant jamais été fait, je viens demander de l'aide :/

Si vous pourriez m'expliquer la démarche à suivre, je ferais de mon possible pour le finir avant jeudi.

Merci bien,

[Timothé Lefebvre]

Je sais bien que ce n'est pas toi !
Il n'y a juste qu'à regarder la date pour s'en convaincre !

Je voulais dire par là comparer tes résultats aux siens ...

[Gueshino]

Ah d'accord, excuses-moi dans ce cas ^^"

Pourrais-tu m'indiquer une piste à suivre ? Car je ne vois pas comment trouver les points permettant de représenter graphiquement chaque fonction... :/

[Timothé Lefebvre]

Eh bien d'après ton énoncé ces points ont été mis en évidence aux questions précédentes !

Pour le C tu as déjà le tableau, des racines, une ou deux valeurs pour C(q)=480 etc ...

[Gueshino]

Pour le DM, je n'ai pas fais de tableau de variation.
J'ai fais une étude de variations sous forme rédigée...

Sa passe ? Sachant qu'on a le " droit " de le faire, du moment où l'étude reste juste ?
Et pour la représentation, je dois faire les tableaux pour mettre en évidence certains points qui ne le sont pas sous forme rédigée ?

Arf.

[benekire2]

Oui tu met tes tableaux comme ça c'est plus visuel et ensuite tu met le graphique!!

[Gueshino]

Donc je refais mon DM et à la place de mettre les études sous forme rédigée je met des tableaux ?

Ou alors je les met tout à la fin pour la question 4, et je laisse les études sous forme rédigée ?