Second degré

[anais171014]

Exo1: Coût total et coût marginal
On pourra utiliser une calculatrice formelle pour les calculs algébriques.
Une entreprise fabrique et vend un article de luxe.
Pour une quantité de q comprise entre 0 et 70 articles, le coût de fabrication, en euro, est donné par:
C(q)=q3(cube)-88.5q²+2710.5q+3000

Définition: A chaque quantité q>1, on associe son coût marginal comme étant le coût de cette dernière unité produite C(petit m)(q)=C(q)-C(q-1).
Le coût marginal est exprimé en euros par article.

1)a)Vérifier que le coût marginal de fabrication du 10e article est 1300€?
Quel est le coût marginal de fabrication du 20e article?
b) Vérifier que C(petit m)(q)=3q²-180q+2800, puis que
C(petit m)(q)=3(q-30)²+100
On utilisera le développement du cube:
(q-1)3(cube)=q3(cube)-3q²+3q-1
2)Etudier les variations de la fonction C(petit m) sur l'intervalle [0;70]. Interpréter le résultat.
Quel est le coût marginal minimal? Quelle est la quantité d'articles à produire et à vendre, associée à ce coût?
3) L'entreprise décide de mettre en vente l'article au prix de 1300€
a)Pour quelles quantités fabriquées et vendues le coût marginal est-il légal au prix unitaire de vente?
b) Expliquer pourquoi, tant que le coût marginal est inférieur au prix unitaire de vente, l'entreprise a intérêt à produire.
Quelles sont les quantités associées à cette condition?

Le 4 de cette exercice est une courbe ainsi que l'autre exercice et je n'arrive pas à mettre une photo comment je peux vous le faire voir? Merci de votre aide j'attends votre aide avec impatience :)

[youkef-sne]

1-a) On a : C(q) = q^3 - 88,5 q^2+ 2710,5q+3000
Pour le 10ème article, on a donc:
C(10)= 10^3 - 88,5*(10)^2 +2710,5(10)+3000 = 22 255
C(9)= 9^3 - 88,5*(9^2) + 2710,5*9+3000 = 20 955
D'ou: C(m) = C(q) - C(q-1) = 22 255 - 20 955 = 1300

1-b) On a: C(m) = C(q)-C(q-1) = q^3-88,5q^2+2710,5q+3000 - [(q-1)^3-88,5(q-1)^2+2710,5(q-1)+3000]
D'ou: C(q)-C(q-1) = q^3-88,5q^2+2710,5q+3000-[q^3-3q^2+3q-1-88,5(q^2-2q+1)+2710,5(q-1)+3000]
D'ou: C(q)-C(q-1) = q^3-88,5q^2+2710,5q+3000-(q^3-3q^2+3q-1-88,5q^2+177q-88,5+2710,5q-2710,5+3000)
D'ou: C(q)-C(q-1) = q^3-88,5q^2+2710.5q+3000-(q^3-91,5q^2+2890,5q+200)
D'ou: C(q)-C(q-1) = 3q^2 - 180q + 2800.
Or on nous dis que C(q)-C(q-1)=3(q-30)^2 + 100
C'est vrai ssi 3(q-30)^2+100 = 3q^2-180q+2800
Or: 3(q-30)^2+100 = 3(q^2-60q+900) + 100 = 3q^2-180q+2700+100 = 3q^2-180q+2800.
Donc on a bien' C(q)-C(q-1) = 3(q-30)^2-100.

2) On a: C(m) = 3q^2-180q+2800.
On a: Delta= bb-4ac = (-180)^2-4(3)(2800) = -1200.
Et comme 3>0, alors C(m) est strictement positif.
De plus, C'(m) = 6q-180 et C'(m) change de signe lorsque x>=30
On en deduit donc que C(m) a un minimum atteint en x=30 et qui a pour valeur 100.
On en conclut donc que: C(m) est strictement positive sur [0,70]. Elle est decroissante sur [0;30] et est croissante sur [30,70]. Son minimum est atteint au point C(x=30)(30,100).

En revanche pour les questions 3-a) et 3-b), je ne les comprends pas trop :/