F(xy)=f(x)+f(y) sans la dérivabilité

[benekire2]

Bonjour,

Je cherche une preuve de la caractérisation du fait que si une fonction continue vérifie f(xy)=f(x)+f(y) pour tout x,y réels alors elle est de la forme

Je n'ai pas réussie à la trouver ,

Je vous remercie !!

PS: Le fait est que j'arrive pas a le faire tout seul, je sais pas quelle définition prendre de ln(x) ...

[Nightmare]

Salut,

en posant h=f o exp, on a h(x+y)=h(x)+h(y) qui est l'équation de Cauchy classique.

[benekire2]

Oui c'est ce que j'ai pensé a faire ( un jour tu m'avais donné le cas inverse, tu me donnais f(x+y)=f(x)f(y) et hypothèse de continuité) mais ça m'ennuie :

du coup f o exp=ax et du coup f=a.ln mais on utilise le fait que ln o exp= Id sur R+*

Edit. Ah, mais je suis bête, on suppose connue ces fonctions, c'est simplement une équation fonctionnelle ...

[egan]

En faisant comme Nightmare t'as dit, tu peux très facilement terminer par l'intégration. Du coup, tu n'as pas besoin de l'hypothèse de dérivabilité.
Il me semble que tu peux le faire directement avec l'intégration aussi. Je crois l'avoir déjà fait mais je ne suis pas sûr (j'ai le cerveau en compote, je te laisse vérifier par toi même ^^).

[Nightmare]

Sinon :



Autrement dit, ce qui prouve que f est dérivable, sous hypothèse de continuité de f. (En fait, on peut même supposer f continue uniquement en un point et montrer qu'alors elle est continue partout. Je te laisse essayer Bene si le coeur t'en dit)

[benekire2]

non pas de problèmes, j'avais pas réfléchis : On suppose connu la fonction ln et exp ... c'était tout con

Edit: Oui je vais essayer avec l'hypothèse continue en un point, je vais voir

[benekire2]

Ba tient, si on dit qu'elle est continue en 1 on écrit

ln(x)=ln(y)+ln(x/y) et on a notre bonheur, maintenant si on dit qu'elle est continue en un autre point, c'est a méditer

[Nightmare]

Comment fais-tu pour prouver la continuité en 1 avec ce que tu as écrit? Parce qu'on peut effectivement se servir de cette réécriture, mais dans ce cas, ça marche avec tous les réels strictement positif, pas seulement 1.

[benekire2]

Bah, quand on fait tendre x vers y dans ln(x)=ln(y)+ln(x/y) le x/y tend vers 1 et donc on doit avoir la continuité en 1 pour que ça marche.
J'ai pas réussi à l'adapter.


(je ne prouve pas la continuité en 1 je la suppose)

Oulala je fatigue : ln(x)=ln(y)+ln(rx/y)-ln(r) et quand x --> y c'est gagné.