RIB spé maths

[jason_basket]

Bonjour à tous, voici mon exercice pour lequel j'ai des difficultés.Merci pour toute aide.
La clé du relevé bancaire:
Le relevé d'idientité bancaire, RIB, comporte de gauche à droite 5 chiffres pour le code banque, 5 pour le code guichet, 11 pour le numéro de compte et 2 pour la clé.
La clé K est calculée de la manière suivante: Soit A le nombre constitué des 21 chiffres de gauche; on calcule r le reste de la division euclidienne de 100A par 97 puis on prend K=97-r.

1)Calculer la clé pour le RIB suivant: 169450040004581553811xx
J'ai trouvé K=82 si quelq'un peut vérifier.
2)Comment mener le calcul avec une calculatrice? On pourra écrire 100A sous la forme 10^12a+10^6b+c
Moi j'ai fais un calcul barbare donc pour avoir une belle formule pas sur comment faire.
3)Déterminer les restes dans la divisio euclidienne par 97 des nombres 10^n avec n entier compris entre 1 et 20.
4)Soit A1 le nombre constitué par un RIB, la clé étant comprise. Montrer que si un des chiffres de A1 et un seul est érroné, l'erreur est détecté.
Plutot logique vu que la clé dépend de chaque chiffre du relevé mais mathématiquement parlant...
5)Montrer que si deux chiffres consécutifs distincts sont permutés alors l'erreur est détecté.
Tout changement est important car c'est une division et non une somme.

Pouvez-vous m'aidez pour ce que je n'ai pas fais et confirmez ce que j'ai fais (le peu qu'il y a)
MERCI

[Huppasacee]

Bonjour
169450040004581553811xx

Pour ma part, je trouve 85 (avec un tableur )
16945004000 = a
E(a/97) =174690762
a-174690762*97 =86
E(10^12)=10309278350
10^12*-10309278350*97 =50
86*50=4300
E(4300/97)=44
4300-44*97=32

458155 =b
reste 24
10^6
reste 27
24*27 = 648
reste 66

381100 =c
reste 84

32 + 66 + 84 = 182
reste 85

[anthonys]

Salut,
tu peux vérifier ta clé RIB ici

Calcul confirmé sur mathématica!

Huppasacee a très bien détaillé par ailleurs le calcul.
Il trouve aussi 12 : 97-85

[jason_basket]

ok merci je vais modifier ça.
et pour le reste??

[anthonys]

Tu peux continuer avec ça:

Déterminer les restes dans la divisio euclidienne par 97 des nombres 10^n avec n entier compris entre 1 et 20.

donne nous quelques résultats pour comparer.

[jason_basket]

ça me donne comme restes: 10; 3; 30; 9; 90; 27; 76; 81; 34; 49; 5; 50; 15; 53; 45; 0; 0; 0; 0; 0.
On a donc comme reste 0 à partir de 10^16.

[Huppasacee]

10; 3; 30; 9; 90; 27; 76; 81; 34; 49; 5; 50; 15; 53; 45; 0; 0; 0; 0; 0.

vérification simple :
10^4 reste 90
10^12 reste 50
50*90 : reste différent de 0 ( 45*3 = 135, donc 38 )

On a donc comme reste 0 à partir de 10^16.

un hic !!

autre méthode :

si 10^16 divisible par 97, 97 premier
97 divise alors un diviseur de 10^16

décomposition de 10^16 : 2^16* 5^16, pas de 97, donc reste 0

aucun reste 0 quel que soit n !!!

comment as tu calculé ? la calculette , au delà d'un certain nombre, n'est pas utilisable directement !

pour n>12

n = 12 + p

10^12 reste 50

10^p reste .... disons r ( tu l'as dans la liste ci dessus )
r * 50 =
dont le reste est ...

[jason_basket]

merci beaucoup pour tout ça!!
Saurais tu expliquer les 2 dernières questions parce que pour moi c'est logique mais pour expliquer...

[Huppasacee]

un chiffre seulement est erroné

a) il est dans la clé , que se passe-t-il ?

b) il est dans les 19 autres chiffres , et la clé est calculée pour les 19 bons chiffres . il faudrait que la clé fût identique lorsque l'un des chiffres coefficient de 10^n et un seul change. est ce possible ?

[jason_basket]

a) la clé Y serait différente de la bonne X et il suffira de calculer X pour les 21 chiffres bons et on trouvera la clé correcte. Donc l'erreur n'est pas grave.
b)Il faudrait que les 2 chiffres aient le meme reste par la division euclidienne par 97?

[Huppasacee]

On a la bonne clé si le chiffre de 10^n = a ( bon chiffre )

or on lit b au lieu de a

la clé serait la même, que l'on eût b ou a
en utilisant les congruences et les 20 restes trouvés , cette égalité de restes est-elle possible ?

[jason_basket]

J'ai pas tout suivi la...
La clé reste inchangé que si a et b ont le meme reste non?

[jason_basket]

quelqu'un peut-il m'aider pour la fin?

[Huppasacee]

J'ai pas tout suivi la...
La clé reste inchangé que si a et b ont le meme reste non?

oui , mais peuvent-ils avoir le même reste ?

b * 10^n et a*10^n ont le même reste par la division par 97
est ce possible ?
quels sont les théorèmes dont tu disposes ?

(b - a ) * 10^n est donc divisible par 97
analyse !!!

[jason_basket]

non ils peuvent pas parce que a et b compris entre 0 et 9 (c'est des chiffres) n'ont jamais le meme reste?
Mais ça doit pas etre si simple que ça vu la suite de ta réponse mais la je suis completement perdu!