(résolu) Angles orientés

[haricot29]

Dans le plan orienté d'un repère orthonormal direct,on considère ABC un triangle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA', ACB' et ABC'. On considère respectivement les points P,Q,et R les centres de gravité respectifs des triangles BCA',ACB' et ABC'.



on note a,b,c,a',b',c',p,q et r les affixes respectives des points A, B, C, A', B', C', P, Q et R.

1)a) Traduire avec les affixes des points concernés que C' est l'image de A dans une rotation d'angle de mesure dont on précisera le centre.
b) Montrer que a'+b'+c'=a+b+c

2) En déduire que p+q+r=a+b+c

3) En déduire que les triangles ABC, A'B'C', et PQR ont meme centre de gravité.

4) Montrer que 3(q-p)=(b'-c)+(c-a')+(a-b)
On admettra que de meme 3(r-p)=(a-c)+(b-a')+(c'-b)

5) Justifier les égalités suivantes :
a-c= e^i*pi/3 *(b'-c)
b-a'= e^i*pi/3*(c-a')
c'-b= e^i*pi/3*(a-b)

6)Déduire des questions 4 et 5 que le triangle PQR est équilatéral

voila merci de bien vouloir m'aider, je mets ce que j'ai réussi

[haricot29]

Voila ce que j'ai trouvé pour l'instant si vs pouvez me dire si c'est ok et m'aider pour le reste ! Merci :id:

1) a) b)
l'angle (BC',BA)= pi/3 (en vecteur car BAC' est un triangle équilatéral et BC'=BA par suite C' est l'image de A dans la rotation de centre B et d'angle)
par conséquent = vecteur BA = e^(i*pi/3) * vecteur BC'

d'où a-b= e^(i*pi/3) *(c'-b) (1)

par un raisonnement analogue on trouve que:

c-a= e^(i*pi/3) *(b'-a) (2)

b-c= e^(i*pi/3) *(a'-c) (3)

par addition de (1) (2) (3) on a :

0= e^(i*pi/3) *[c'-b+b'-a+a'-c]

on en déduit que a'+b'+c'=a+b+c


2)
p= (b+c+a')/3
q= (a+c+b')/3
r= (a+b+c')/3
en additionant :
p+q+r = (2b+2c+2a+a'+b'+c')/3 (1)
comme a'+b'+c'=a+b+c on remplace dans (1) et on obtient le résultat demandé : 3(q-p) = (b'-c) + (c-a') + (a-b)

[haricot29]

Svp quelqu'un peut regarder ce que j'ai fait ?! je reviens sur le forum dans la soirée ! Merci d'avance
:id:

[haricot29]

bon ben j'ai bouclé mon exercice ça y est... Je n'ai trouver personne pour me filer un coup de pouce masi tampis, merci quand meme a ceux qui sont passé regarder ! bisou A tous :we: