Rep-units

[soph123]

Bonjour,

je suis en term S spec math et j'ai un probleme ardu. Est ce que quelqu'un peut m'aider? J'ai reussi la premiere aprtie, mais je bloque sur la seconde.

Voici le probleme:

Soit Rn le nombre qui s'ecrit avec n chiffres 1. Ainsi R1=1; R2=11? R3=111, etc...

Partie 1:
Soit N un entier naturel non nul.
a) Montrez que si aucun des nombres R1, R2, ...RN n'est multiple de N, alors au moins deux d'entre eux ont le meme reste dans la division par N. On les notera Ri et Rj (i>j)
--> ma reponse: dans la division euclidienne , il y a N-1 reste donc obligatoirement, au moins 2 des Ri auront le meme reste.

b) Quelle est l'ecriture decimale de Ri-Rj?
j'ai trouve: 111..10..0 avec i-j fois le chiffre "1" et j fois le chiffre "0"

c) en deduire que tout entier naturel non nul N admet un multiple qui s'ecrit avec des chiffres 1 suivi eventuellemnt de chiffres 0.
--> comme Ri-Rj est multiple de N d'ou la reponse.

La suite:

Partie 2: Soit N un entier qui n'est ni multiple de 2, ni multiple de 5.
a- montrer que N est premier avec 10
b- deduire du resultat 1c) precedent que N admet alors un multiple rep-unit
c- quels sont les entiers qui admettent un multiple rep-unit?
d- en remarquant que R(p+1)=10R(p)+1, explqiuer comment trouver rapidement les restes des rep-units dans la division par 17, pour R1, R2, R3, R4,...., R17.

Est ce que quelqu'un a une idee pour cette partie 2?

Merci
Sophie

[maturin]

2a - Définition: on dit que des entiers a et b sont premiers entre eux, ou que a est premier avec b, s'ils n'ont aucun facteur premier en commun

2b - Tu peux écrire de 1c qu'un multiple de N de type 11..1100..00 hors N pas multiple de 10 donc...

2c - Tu sais d'après 2b que tous les nombres non multiples de 2 et 5 admettent un rep-unit comme multiple.
Il te reste à regarder les nombres multiples de 2 ou de 5.

2d - soit r(p) le reste de la division de R(p) par 17
R(p)=17*k+r(p)
R(p+1)=10*R(p)+1=170k+10r(p)+1

et il faut que tu mette R(p+1) sou sla forme 17k'+r(p+1)
donc r(p+1) est le reste de la division de 10r(p)+1 par 17

Ca simplifie un peu les calculs mais il n'y a pas de formules magique.

[soph123]

Merci beaucoup pour l'aide.
Sophie