Rep-units- problème amusant

[matt72]

Pour passer le temps, un petit problème de math amusant smile.gif

Bonne chance. C'est pas trop difficile.


Les nombres1,11,111,1111 s'écrivent uniquement avec le chiffre 1.
On les appelle des "rep-units"
Pour k entier strictement positif, on note Nk le rep-unit écrit à l'aide de k chiffres 1.

1) Citez deux nombres premiers inférieurs à 10 n'apparaissant jamais dans la décomposition d'un rep-unit. Justifiez. {décoposer un nombre: 12=2.2.3 ou autre}
2)Donnez la décoposition en facteurs premiers de N3, N4 et N5 (soit respectivement 111, 1111, 11111)
3)Soit un entier n>1, si l'écriture décimale de n² se termine par un, montrez que
a. n, dans son écriture décimale se termine lui-même par 1 ou 9.
b. Il existe un entier m tel que n s'écrit sous la forme (10m+1) ou (10m-1)
c. n² modulo 20=1
4) Soit k>(strictement)2, quel est le reste de la division de Nk par 20?
5) Déduire qu'un rep-unit distinct de 1 n'est pas un carré.



Bonne soirée tongue.gif