Relations metriques dans un triangle

[Odessa]

Bonjour à tous. J'ai un exercice à faire, mais je ne le comprend pas. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Exercice 1 : Théorème d'Al-Kashi
1. Soit ABC un triangle.
a) En exprimant le produit scalaire AB.AC de deux manières, démontrer que :
BC² = AB² + AC² - 2 x AB x AC x cos (BAC)

b) De la même manière on peut démontrer que l'on peut exprimer :
AB² en fonction de CA, CB et ACB;
AC² en fonction de BA, BC et ABC;
Sans les démontrer, établir ces deux relations.

2. Application : Soit ABC un triangle tel que : AB = 10.5 cm, AC = 12 cm et ACB = 60°
Résoudre dans R l'équation d'inconnue CB :
AB² = CA² + CB² - 2 x CA x CB x cos (ACB)
Interprétez géographiquement le résultat.

Exercice 2 : Formule des sinus.
1. Soit ABC un triangle.
a) En considérant le point H projeté orthogonal de C sur la droite (AB), démontrer que l'aire S du triangle ABC est :
S = 1/2 x AB x AC x sin (BAC)
Indication : distinguer le cas où l'angle BAC est aigu du cas où l'angle BAC est obtus.
b) Sans les démontrer établir deux autres relations analogues à celle du (a), et établir la formule des sinus :
(BC/sin (BAC)) = (AC/sin (ABC)) = (AB/sin (ACB)) = (BC x AC x AB/2S)

2. On cherche à mesurer la hauteur de la falaise.
A partir de deux balises distantes de 100m, on a effectué les mesures indiquées ci-contre.
a) En se plaçant dans le triangle ABC, calculer la distance BC.
b) En déduire la hauteur CE de la falaise (arrondir au dixième de mètre).
Schéma de la falaise

Merci beaucoup pour votre aide.

Odessa.

[spike0789]

Bonjour,

Pour le premier exo essaie d'exprimer de 2 manières : (AB-AC)^2 (en vecteurs)
Pour le deuxième, tu sais que S=(1/2)*AB*CH. Il suffit d'exprimer CH en fonction de AC.

Cordialement