Rédaction convergence suite

[alexis6]

Bonjour,

Voilà en fait je suis confronté à deux "modes" de rédaction pour montrer qu'une suite est divergente ou convergente avec la définition ( intervalle ).

Pour que ceci soit plus parlant, je vous donne ci-après un exemple:

Soit (Un) une suite définie sur N* par Un = 1 + 1/n^2. Montrer que cette suite converge vers 1.

1ere méthode:

Considérons un intervalle ouvert contenant 1 et symétrique par rapport à 1. Il est donc de la forme ] 1-e ; 1+e [, avec e>0. Tous les termes de la suite sont dans cet intervalle à partir du rang E(1/;)(e)) + 1. En effet, si n ;) E(1/;)(e)) + 1, on a n^2 > 1/e puis 1/n^2 < e. Comme 1/n^2 et e>0, on a aussi -e < 1/n^2. D'où -e < 1/n^2 < e, puis 1-e < 1 + 1/n^2 < 1+e.

D'où Un converge vers 1 à partir d'un certain rang n ;) E(1/;)(e))

2eme méthode:

Un converge vers 1 si, et seulement si tout intervalle ouvert centré en 1 contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On a donc 1-e < 1 + 1/n^2 < 1+e , alors 1/e < n^2 < -1/e par décroissance sur R+ de la fonction inverse. Il s'ensuit 1/;)(e) < n < -1/;)(e), par croissance de la fonction racine carrée.

On a donc Un converge vers 1 à partir d'un certain rang n>1/;)(e)

Voila maintenant j'ai plusieurs questions sur ces deux méthodes:
- Laquelle trouver vous meilleure ( plus rigoureuse par exemple )
- Y a t-il des erreurs dans ces deux rédactions?

Et enfin une dernière question sur la méthode en général, sur un point que je ne comprends pas vraiment. Ici on a conjecturé que la suite convergeait vers 1. On arrive à un rang pour lequel la suite est effectivement contenue dans tout intervalle ouvert et centré sur 1. Et donc d'après la définition, on a prouvé qu'elle convergeait. Mais je me disais que si on avait conjecturé autre chose, par exemple que cette suite admettait comme limite 8, cela aurait marché et on aurait trouvé un rang exprimé avec e où la suite est effectivement contenue dans tout intervalle ouvert et centré sur 8. Ensuite on aurait pu prouver par contre exemple que la suite ne tendait pas vers 8. Mais pour 1, on a trouvé un rang, et on a le droit d'affirmer qu'elle converge absolument vers 1. Mais comment affirmer que l'on ne puisse pas trouver de contre-exemple où cela ne marche pas? ( en toute naïveté )

Merci d'avance pour toute réponse,
Alexis

[Monsieur23]

Aloha,

Ta première méthode, pas de soucis.
Un léger problème de rédaction dans la deuxième : tu cherches n tel que 1-e < 1+1/n² < 1+e, tu ne peux donc pas partir de cette égalité ; tu fais ton raisonnement sur ton brouillon, et sur ta copie, tu rédiges dans l'autre sens : prenons n tel que n > 1/sqrt(e). Alors blabla.

Pour la suite, euh, il faut que tu m'expliques comment tu trouves un rang à partir duquel tous les éléments de la suite sont dans [8-e, 8+e]...

[paquito]

Si une suite converge ver, alors cette limite est unique; en effet si elle convergeait aussi vers différent de , à partir d'un certain rang ,en posant , on aurait pour et, ce qui est impossible.

Sinon, on n'écrit pas converge à partir d'un certain rang, mais converge tout court; par contre une suite peut être croissante à partir d'un certain rang.