Récurrence devoir maison

[kumiko-san]

Bonjour à toi aussi !!

Démontrer par récurrence que :
Pour tout entier n supérieure ou égal à 1,
1x2 + 2x3 + 3x4 + ... + n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3

(remarquer que la somme contient n termes et donc que, pour n=1 la somme ne contient qu'un terme, pour n= 2 la somme contient deux termes et ainsi de suite)

=> Faut-il calculer P(n0)? Etant donné que n > ou = à 1?
Je ne comprend pas comment faire..

De rien !!

[Ericovitchi]

on t'a dit par récurrence.

Ca veut dire que tu vérifies que c'est vrai pour 1
Tu supposes que c'est vrai pour n
Tu démontres que c'est encore vrai pour n+1
Tu en conclus que c'est vrai pour tout n

[kumiko-san]

pour n= 1,
on a, [1(1+1)(1+2)]/3 = 2

On suppose que c'est vrai pour n,
Donc pour n+1, on a:
[(n+1)(n+1+1)(n+1+2)]/3
= [(n+1)(n+2)(n+3)]/3
= [(n²+2n+n+2)(n+3)]/3
= [(n²+3n+2)(n+3)]/3
= [ (n^3 +3n² +3n² +6n +2n +6)]/3
= [n^3+6n²+8n+6]/3

et après que dois-je faire?

[kumiko-san]

Une fonction f définie sur un intervalle I est dite de classe C1 sur I si elle est dérivable sur I et si sa fonction dérivée f’ est continue sur I


Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; + ;)[ par : f(x)= 6x;)x– 3x^2- 2x
La fonction f est elle de classe C1 sur [0 ; + ;)[ ? Justifier

=> f(x)= 6x;)x– 3x^2- 2x

donc

f'(x) = [6;)x-1/(2;)x)*6x]-6x-2
f'(x) = [6;)x + 3x/;)x]-6x-2
f'(x) = (6x+3x)/;)x - 6x - 2
f'(x) = 9x/;)x - 6x - 2
f'(x) = 9;)x - 6x - 2

a partir de celà il suffit de dire que
9;)x est dérivable sur ]0; +oo[
6x _______________________
et donc que :
9;)x - 6x - 2 est dérivable sur [0;+oo[ ? donc que la fonction f est dérivable sur cette intervalle?

Pour la continuité.. je sais faire en un point, mais sur un intervalle..

[Ericovitchi]

Hou la la

Donc tu supposes que c'est vrai pour n donc tu admets que
1x2 + 2x3 + 3x4 + ... + n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3

Tu veux montrer que c'est encore vrai pour n+1, donc tu formes
1x2 + 2x3 + 3x4 + ... + n(n+1) +(n+1)(n+2)
Tu remplaces les premiers termes :
[n(n+1)(n+2)]/3 + (n+1)(n+2) = tu mets (n+1)(n+2) en facteur
= (n+1)(n+2) [n/3 + 1 ] = 1/3 (n+1)(n+2)(n+3)
Ho miracle la formule est encore vraie pour n+1 !!!!

[kumiko-san]

oops pour le message d'au dessus

pour n= 1,
on a, [1(1+1)(1+2)]/3 = 2

On suppose que c'est vrai pour n,
Donc pour n+1, on a:
[(n+1)(n+1+1)(n+1+2)]/3
= [(n+1)(n+2)(n+3)]/3
= [(n²+2n+n+2)(n+3)]/3
= [(n²+3n+2)(n+3)]/3
= [ (n^3 +3n² +3n² +6n +2n +6)]/3
= [n^3+6n²+8n+6]/3

et après que dois-je faire?

[Timothé Lefebvre]

Bonsoir,

remarque, on peut décomposer ça en somme plus simples et qui sont connues :



Ensuite tu écris :



Tu réduis.

Voir doc ci-dessous (page 3).

[kumiko-san]

je n'ai pas compris :

[n(n+1)(n+2)]/3 + (n+1)(n+2)

c'est [[n(n+1)(n+2)]/3] + (n+1)(n+2)

ou n(n+1)(n+2)]/ [3 + (n+1)(n+2)] ?

[Timothé Lefebvre]

On te demande de le faire par récurrence mais j'aurais fait comme ça, plus intuitivement.

[Ericovitchi]

Dans [[n(n+1)(n+2)]/3 + (n+1)(n+2) tu mets (n+1)(n+2) en facteurs
(n+1)(n+2) [n/3 +1 ] = (n+1)(n+2)(n+3)/3
tu ne sais pas mettre un terme en facteur ? :marteau:

[kumiko-san]

ok merci bien :)