Recherche d'un polynôme qui ...

[Grizet]

Bonsoir, je suis à la recherche d'un polynôme .

Je ne sais pas par où commencer ...
Merci

[Mimosa]

Bonjour

Je suppose que le que tu cherches est un polynôme. Alors compare les degrés de et

[Grizet]

Les degrés sont identiques sauf éventuellement pour le dernier (p(p(x))

[samoufar]

Bonsoir,

Justement, quel est le degré de P(P(X)) ? Ça va restreindre le nombre de degrés à considérer.

Ensuite tu écris la formule générique d'un polynôme de degré ce que tu as trouvé et tu trouves un système d'équations grâce à la première égalité. Ensuite il te reste à retirer les solutions qui ne vérifient pas la deuxième égalité.

[Grizet]

Le degré de est égal au degré de si le le degré est 1 ou 0.

Mais le degré de m'est inconnu. Donc en réfléchissant, je dois trouver un polynôme de degré au plus car si il est de de degré , je me retrouve avec et dont le degré est .

Voyons avec le degré :
où est un constante.
En tenant compte des égalités données dans l'énoncé, je sais que :


Voyons avec le degré :
.
De même :
Ainsi,
et
Je note , j'obtiens et et j'obtiens une autre réponse va l'autre égalité mais que faire à présent ?

[Razes]

Supposons que le degré de est donc le terme de degré élevé est , Quel serait le terme de degré élevé de ?

[Grizet]

Le degré de serait alors celui de donc de . Et comme trouvé précédemment, alors ce qui implique nul ou égal à .

[Razes]

et sont de quel degré?

[Razes]

Le degré de serait alors celui de donc de . Et comme trouvé précédemment, alors ce qui implique nul ou égal à .

Ton résultat est faux, vérifie doucement tes calculs

[Grizet]

Oui j'ai oublié le coefficient et c'est 2n donc n=0 ?
Aussi P(x) à degré n alors, P(x^2) à degré 2n et P^2(x) à degré 2n.

[Grizet]

n^2=2n donc n^2-2n =0 donc n=0 ou n=2 ?

[samoufar]

Bonsoir,

Exactement, le degré de vaut ou . Le cas est facile à régler. Il reste le cas . Poses et écris l'égalité de gauche avec ce polynôme. Tu obtiens alors un système d'équations en très facile à résoudre puisque par hypothèse

Il reste une petite vérification assez immédiate de l'égalité de droite par la ou les solutions.