Raisonnement sur les polynomes

[nico033]

Bonjour,
jai un probleme à resoudre:

voici le sujet:

on me demande de montrer que tout polynome de degré impair possede au moins une racine réelle. comment faire sil vous plait, car je ne vois vraiment pas comment résoudre cette question.

Merci d'avance

[anima]

Bonjour,
jai un probleme à resoudre:

voici le sujet:

on me demande de montrer que tout polynome de degré impair possede au moins une racine réelle. comment faire sil vous plait, car je ne vois vraiment pas comment résoudre cette question.

Merci d'avance

Tu as déjà vu les complexes ou pas? Si non, je te montre avec du degré 3 et 5:

Un polynôme de degré 3 est factorisable en (x-a)(bx²+cx+d) (on peut ainsi obtenir tout polynôme du degré 3). le trinôme peut, ou peut ne pas avoir de solutions, mais x-a=0 a toujours une racine réelle.

Un polynôme de degré 4 est (ax²+bx+c)(dx²+ex+f) avec a,b,c,d,e,f réels. Pour passer au degré 5, on le multiplie par un binôme du premier degré. On obtient donc 2 trinômes ayant ou n'ayant pas de solutions, et...une équation du second degré admettant forcément une racine.

Et par analogie, tout polynôme de degré pair peut donc être décomposé en un produit de trinômes. Et tout poly de degré impair est un produit de trinômes...plus un binome.

Pour les complexes, tu peux raisonner avec l'écart entre les racines (thêta) et prouver que quoi qu'il arrive, il y en aura forcément une sur l'axe des réels.

[Flodelarab]

C'est faux.

Contre-exemple: P(x) = x - i
Le plus bete des polynomes à coefficients complexes de degré impair.
Une seule racine: i

[anima]

C'est faux.

Contre-exemple: P(x) = x - i
Le plus bete des polynomes à coefficients complexes de degré impair.
Une seule racine: i

Flo, le trolling, c'est mauvais. On se place strictement dans les réels, d'après l'énoncé.

[Nightmare]

Bonjour

Soit

Tout polynôme est continu. De plus, comme x^n est de degré impair :

En utilisant le TVI, la conclusion est directe.

[Flodelarab]

Flo, le trolling, c'est mauvais. On se place strictement dans les réels, d'après l'énoncé.

1) tu t'inventes des contraintes ecrites nullepart
2) tu n'as pas prouvé dans ta factorisation que a était réel.

[Flodelarab]

Bonjour

Soit

Tout polynôme est continu. De plus, comme x^n est de degré impair :

En utilisant le TVI, la conclusion est directe.

:++:

Bravo !

par contre le TVI a mon avis, au lycée lui passe au dessus de la tete

[Zebulon]

Bonjour,

par contre le TVI a mon avis, au lycée lui passe au dessus de la tete

on le voit en terminale (Nico, ne pas oublier l'hypothèse essentielle du TVI...)

[anima]

1) tu t'inventes des contraintes ecrites nullepart
2) tu n'as pas prouvé dans ta factorisation que a était réel.

Effectivement, j'ai fait un mélange entre racine réelle et polynome réel.

(et le TVI, on en entend très peu parler au lycée, mais il existe :zen: )

[Zebulon]

(et le TVI, on en entend très peu parler au lycée, mais il existe :zen: )

Très peu ???

[anima]

Très peu ???

Très peu ici. Le prof en a dit 3 mots au début de l'année...Enfin remarque, je ne suis pas en France :zen:

[Zebulon]

Très peu ici. Le prof en a dit 3 mots au début de l'année...Enfin remarque, je ne suis pas en France :zen:

En France, en tout cas où j'étais au lycée, on l'utilise beaucoup. Souvent, dans une étude de fonction, on s'en sert pour montrer l'existence d'une solution de l'équation f(x)=c, et on donne à la calculatrice une approximation d'une solution. C'est très classique au bac.

[Nightmare]

Je confirme, je l'ai vu cette année et il est bien encré dans la tête des élèves.

[anima]

En France, en tout cas où j'étais au lycée, on l'utilise beaucoup. Souvent, dans une étude de fonction, on s'en sert pour montrer l'existence d'une solution de l'équation f(x)=c, et on donne à la calculatrice une approximation d'une solution. C'est très classique au bac.

Pas le droit à la calculatrice au bac européen. Ca doit être pour ça :we:

[Zebulon]

Pas le droit à la calculatrice au bac européen. Ca doit être pour ça :we:

Non, je n'y ai pas eu le droit non plus. De toute façon, le TVI donne toujours l'existence.

[nico033]

vous pouvez mexpliquer alor quel est la bonne solution sil vous plait car je suis un peu perdu merci, oui jai vu les complexes

[Zebulon]

Je pense que la solution demandée ressemble à

Soit

Tout polynôme est continu. De plus, comme x^n est de degré impair :

En utilisant le TVI, la conclusion est directe.

C'est comme ça que j'aurais fait.

P.S. : Nightmare, excuse-moi, je n'avais pas vu que tu avais écrit l'hypothèse de continuité.

[nico033]

mais a quoi correspond ce anx^n+An-1x^n-1+...+a1x+a0
et cet limite ? je ne la comprend pas?
TVI veut dire? merci de me lexpliquer monsieur car je suis un peu perdu

[Nightmare]

Bonjour

Avant de poser des questions sur les polynômes, il faudrait d'abord savoir ce que c'est.
Quel est la forme général d'un polynôme?

[Zebulon]

TVI veut dire?

TVI=théorème des valeurs intermédiaires.