Radical complexe

par **Pjdestexhe** » 27 Déc 2014, 20:27

Bonjour à tous,

Je suis prof de maths depuis quelques mois et j'ai une petite question de convention concernant les nombres complexes: qu'est-ce que le radical d'un nombre complexe ?

Par exemple : est-ce que

ou alors est-ce que

?

Le radical d'un nombre réel c'est sa racine carrée positive, mais lorsque les racines carrées sont complexes, la notion de positivité n'a plus de sens, alors quid ?

Peut-être qu'on ne peut pas utiliser le symbole radical avec un nombre négatif ou complexe, mais le prof que je remplace actuellement le fait constamment dans ses préparation de cours...

Merci de votre aide !

par **chan79** » 27 Déc 2014, 20:55

un nombre complexe non nul a deux racines carrées

par **WillyCagnes** » 27 Déc 2014, 20:55

bsr,

est-ce que

? la reponse est Oui

par **chombier** » 27 Déc 2014, 21:12

Je m'inscrit en faux, la racine carré est definie sur R+ et c'est tout.

L'equation x^2=-4 a deux solutions dans C, mais la racine carré de -4, ou de i, cela n'existe pas !!

Pour moi le prof que tu remplaçes prend des libertés et il a bien tort

par **Pjdestexhe** » 27 Déc 2014, 21:14

Merci, je pense que chambier a raison. Parler du radical d'un complexe ou d'un nombre négatif n'a pas de sens...

Je maîtrise sur le bout des doigts le sujet des nombres complexes, je sais pertinemment bien ce que c'est une racine carrée. Mais je suis ingénieur, pas mathématicien. Je ne suis donc pas toujours à l'aise dans les conventions.

Je vais préciser ma question, est-il faux de dire que

?

À mon avis, cette question n'a pas de sens car

n'existe tout simplement pas. Mais j'avoue humblement que je n'en suis pas sûr...

par **chombier** » 27 Déc 2014, 21:24

Pjdestexhe a écrit:Merci, mais tu ne réponds pas à ma question tous les nombres ont 2 racines carrées moi je parle de radicals...

Le radical représente la fonction racinne carrée, qui est la bijection réciproque de la fonction carrée de R+ sur R+

Par conséquent, la fonction

n'est définie que pour les réels positifs.

Il y a une raison historique à celà, c'est Euler qui a remarqué que noter

posait de problèmes, en particulier cela rendait la formule

fausse en général. En effet, d'une part

D'autre part

Source : http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Introduction_aux_nombres_complexes.pdf

par **Pjdestexhe** » 27 Déc 2014, 21:53

J'ai peur que tu n'aies raison, mais du coup on ne peut pas écrire

lorsque

par exemple? Comment faire alors ?

par **capitaine nuggets** » 27 Déc 2014, 22:26

Pjdestexhe a écrit:J'ai peur que tu n'aies raison, mais du coup on ne peut pas écrire lorsque par exemple? Comment faire alors ?

Dans les bouquins, pour éviter cette petites difficulté, ils ont tendances à dissocier le cas où le discriminant

est strictement négatif en rajoutant

en facteur devant

.

Pour un complexe

, on appelle une racine carré de

, un nombre complexe

tel que

.

:+++:

Edit : Après, je ne sais pas mais peut-être qu'on peut "étendre" la fonction "racine carrée sur une partie de

un peu comme le logarithme (via le chapitre fonctions holomorphes).

par **chombier** » 27 Déc 2014, 23:15

Pjdestexhe a écrit:J'ai peur que tu n'aies raison, mais du coup on ne peut pas écrire lorsque par exemple? Comment faire alors ?

On écrit Si

, on écrit

et

Et non, la racine carrée ne s'étends pas aux complexes, cela ne sert à rien.

L'équation

admet deux solutions, opposées l'une à l'autre. Rien ne permet a priori d'en distinguer une.

par **chombier** » 28 Déc 2014, 00:16

Petite précision, pour moi on ne peut pas parler du "radical d'un nombre".

Le radical est un symbole qui représente la fonction racine carrée.

En revanche, la fonction racine carrée est un objet mathématique, et on doit bien parler de la "racine carrée d'un nombre". (Et j'ai bien dit LA et pas LES :lol3:)

par **Pjdestexhe** » 28 Déc 2014, 01:10

Merci Chombier! Je viens d'aller vérifier dans une source scientifique fiable (en l'occurrence Wikipédia pour une fois changer

) et je constate avec stupeur qu'un nombre positif ne possède en effet qu'une seule racine carrée. Jusqu'ici je pensais dur comme fer qu'un nombre positif possédait 2 racines carrées et un seul radical. Il n'est jamais trop tard pour apprendre!

Je pense que mon erreur est assez répandue, as-tu un commentaire à faire sur le sujet ? Comment peut-on désigner les deux racines de la fonction

? Je trouvais assez pratique mon système -visiblement erroné- de 2 racines carrées et d'un radical...

par **Pjdestexhe** » 28 Déc 2014, 01:19

chombier a écrit:On écrit Si , on écrit et

Et non, la racine carrée ne s'étends pas aux complexes, cela ne sert à rien.

L'équation admet deux solutions, opposées l'une à l'autre. Rien ne permet a priori d'en distinguer une.

Je suis d'accord avec toi, mais il faut bien admettre que c'est assez compliqué comme notation. Si je sors ça à mes élèves ils vont me crucifier sur le tableau noir. Écrire que

est valable dans tous les cas est quand même plus confortable...

par **capitaine nuggets** » 28 Déc 2014, 01:35

Pjdestexhe a écrit:Je suis d'accord avec toi, mais il faut bien admettre que c'est assez compliqué comme notation. Si je sors ça à mes élèves ils vont me crucifier sur le tableau noir. Écrire que est valable dans tous les cas est quand même plus confortable...

Perso, je pense qu'après, ça dépend des libertés que tu prends. Cependant, si tu leurs donnes la formule en leur expliquant le pourquoi du comment, il me semble que ça devrait pouvoir passer : Si

donc

en glissant de manière non rigoureuse dans un coin du tableau que la formule est la même lorsque

, sauf qu'on fait "

", ce qui est extrêmement faux à écrire malheureusement... mais juste bon pour essayer de se convaincre... (ouais je sais, c'est une arnaque :ptdr: mais le problème, c'est que si on cherche à trop expliquer, on risque de prendre trop de temps...).

Moralité, tu peux leur donner des formules correctement définies tout en leur fournissant des moyens ou indications pour au mieux les accompagner et ainsi saisir une occasion de souligner la rigueur dans les mathématiques. Combien dans ma classe pourraient confondre racine carrée d'un nombre réel ou complexe...

par **chombier** » 28 Déc 2014, 11:07

Pjdestexhe a écrit:Je suis d'accord avec toi, mais il faut bien admettre que c'est assez compliqué comme notation. Si je sors ça à mes élèves ils vont me crucifier sur le tableau noir. Écrire que est valable dans tous les cas est quand même plus confortable...

Ça depends, tu enseignes où ?

Sinon tu écris

où

, c'est valable aussi dans tous les cas

par **Sake** » 28 Déc 2014, 11:19

Pjdestexhe a écrit:Merci, je pense que chambier a raison. Parler du radical d'un complexe ou d'un nombre négatif n'a pas de sens...

Je maîtrise sur le bout des doigts le sujet des nombres complexes, je sais pertinemment bien ce que c'est une racine carrée. Mais je suis ingénieur, pas mathématicien. Je ne suis donc pas toujours à l'aise dans les conventions.

Je vais préciser ma question, est-il faux de dire que ?

À mon avis, cette question n'a pas de sens car n'existe tout simplement pas. Mais j'avoue humblement que je n'en suis pas sûr...

Même en tant qu'ingénieur, tu sais qu'il faut éviter d'écrire

avec x négatif... Cela peut t'amener à un résultat tout à fait faux. Mon prof de maths en prépa avait un exemple édifiant, que je n'ai malheureusement pas sous la main

par **chombier** » 28 Déc 2014, 11:25

Sake a écrit:Même en tant qu'ingénieur, tu sais qu'il faut éviter d'écrire avec x négatif... Cela peut t'amener à un résultat tout à fait faux. Mon prof de maths en prépa avait un exemple édifiant, que je n'ai malheureusement pas sous la main

J'ai mis un exemple au dessus.

Mais les ingénieurs ne sont pas des gens comme nous...

J'ai une belle formule. Alpha est petit ? Je remplaçe sin(alpha) par alpha. Bêta est grand ? Je remplaçe tan(bêta) par pi/2. Voilà, on y vois plus clair !!

par **Sake** » 28 Déc 2014, 11:30

chombier a écrit:J'ai mis un exemple au dessus.

Mais les ingénieurs ne sont pas des gens comme nous...

J'ai une belle formule. Alpha est petit ? Je remplaçe sin(alpha) par alpha. Bêta est grand ? Je remplaçe tan(bêta) par pi/2. Voilà, on y vois plus clair !!

Je suis ingénieur et je confirme

Enfin, c'est plus compliqué que ça en général, on s'adapte à la situation : Si tu veux de la précision, t'en auras de la précision, mais s'il n'y en a pas besoin, autant approximer pi par 3 et ln(5) par 2.

par **Pjdestexhe** » 28 Déc 2014, 12:00

Quelles idiots nous sommes! Je me demande pourquoi la société continue à faire confiance aux ingénieurs plutôt que de demander aux mathématiciens de concevoir des machines et faire tourner l'industrie sans s'abaisser à faire de vulgaires approximations.

Mais j'ai quand même ma petite idée là-dessus.

Quoi qu'il en soit, merci pour vos réponses, j'y vois plus clair! ;)

par **chombier** » 28 Déc 2014, 12:20

Pjdestexhe a écrit:Quelles idiots nous sommes! Je me demande pourquoi la société continue à faire confiance aux ingénieurs plutôt que de demander aux mathématiciens de concevoir des machines et faire tourner l'industrie sans s'abaisser à faire de vulgaires approximations.

Mais j'ai quand même ma petite idée là-dessus.

Quoi qu'il en soit, merci pour vos réponses, j'y vois plus clair!

Maiiiiis

Je n'ai rien contre les ingénieurs !! Ce n'est pas le même métier, c'est tout !

Exemple : j'ai lu dans un livre un algorithme pour tester la primalité d'un nombre.

Cet algorithme, très efficace, n'est pas fiable à 100%, donc inintéressant et rejeté par les mathématiciens... Pourtant on peut rendre la probabilité que l'algorithme rendre un résultat faux aussi petite que l'on veut.

Ainsi, avec les bons paramètres, la probabilité que l'algorithme renvoie une réponse fausse devient inférieure à celle qu'un rayon cosmique perturbe le fonctionnement de l'ordinateur au point de le faire buguer et qu'il renvoie un résultat faux, même avec un algorithme exact.

L'ingénieur est satisfait, et il a raison, quand le mathématicien doute encore

par **paquito** » 28 Déc 2014, 13:19

On ne peut pas étendre la fonction

au plan complexe; si on essaie, il faut la définir de

dans

Où

est le demi plan défini par

et

la demi droite des imaginaires purs vérifiant

. Au départ, ça se passe bien et on a

,

, bref on a de l'espoir, c'est quand on veut appliquer les règles de calcul que ça ne va plus; la relation :

est parfois valable, parfois non valable, donc aucun calcul n'est possible. Exemple:

on aurait

et

mais

, ce qui ne peut pas être égal à

il faudrait écrire

; c'est totalement inutilisable.

Conclusion: la notation

est exclusivement réservée aux réels positifs; régle qui est bafouée par certaines CASIO, ce qui ne peut qu'entraîner des confusions, tout ça pour assister encore un peu plus les élèves.

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