RACINE(N/(N+2)) N'APPARTIENT PAS À Q

[PsychoEnder]

je cherche des idées pour montrer l’irrationalité de:
Racine(n/(n+2)) est irrationnel

avec n un entier non nul

Merci d'avance!!!

[phyelec]

bonjour,

Je vous propose quelque chose à valider et consolider par vous et/ou modifier améliorer .

en générale sur ce type de question on démarre comme cela

si est rationnel, alors on peut trouver p et q des entiers naturels non nuls premiers entre eux tels que :



alors au carré :




Or, si p et q sont premiers entre eux, les entiers et le sont aussi.
D’après le théorème de Gauss, divise n/(n+2) , c'est à dire qu' il existe un entier naturel u tel que :

soit dans ce cas est entier, de même que sa racine carrée
soit et donc
n’est vrai que si ce qui implique que q = 1 et soit est un un carré. Ainsi, rationnel implique entier naturel. Par contraposition, non entier naturel implique irrationnel.

saut erreur de ma part cela répond à votre question.

[phyelec]

on voit bien que n/(n+2) est compris entre 0 et 1, je n'ai pas vu comme exploiter cette propriété. j'ai raisonné de manière globale sur n/(n+2) comme si N= n/(n+2) .

[phyelec]

je me demande si on ne pourrait dire au niveau du " q=1 et " dire qu'il y a une contradiction car est un entier et n'est pas cette égalité est impossible.

[Ben314]

Salut,

D’après le théorème de Gauss, divise n/(n+2) , c'est à dire qu' il existe un entier naturel u tel que :

ça, c'est effectivement du grand n'importe quoi vu que n'est pas entier (et que la notion de divisibilité dans l'ensemble des rationnels est sans intérêt vu que c'est un corps).
Bref, il faut évidement écrire l'équation sous la forme (avec uniquement des entiers) si on veut pouvoir utiliser des arguments de divisibilité (en supposant bien sûr qu'on a pris la fraction p/q sous forme irréductible donc que et sont premiers entre eux)

Après, le premier truc qui me vient à l'esprit, c'est de distinguer deux cas selon que est pair (auquel cas on a avec et l'équation devient où et sont premier entre eux) ou bien que est impair (auquel cas et sont directement premiers entre eux)

[phyelec]

@Ben314, merci pour cet éclairage, je voyais bien le démarrage mais j'étais en difficultés pour la suite d'où mes errances illicites. Votre approche effectivement est la bonne. PsychoEnder devrait pouvoir avancer avec vos indications pertinentes.

[PsychoEnder]

d'accord donc d'aprés la méthode de @Ben314 et @phyelec , on trouve :
n/n+2=p²/q²
n*q²=p²(n+2)
or PGCD(p;q)=1
donc n divise p²
n=K*p² tel que K est un entier naturel
donc:
K * p² * q² = p² (K * p² + 2)
K * q² = K * p² + 2
K(q² - p²)=2
Et maintenant comment trouver l'absurde? Merci d'avance! et Comment vous écrivez les éqautions comme des images mais pas comme ça : n/(n+2)

[Ben314]

K(q² - p²)=2

Pour que le produit de 2 entiers naturels fasse 2, y'a pas bien le choix : l'un des deux vaut 1 et l'autre 2.
Donc q² - p² doit valoir 1 ou 2.
Peut tu me donner la liste des 5 ou 6 premiers carrés d'entiers ?
La différence entre deux d'entre eux peut-elle être égal à 1 ? à 2 ?
Et pour les suivants ?

Edit : à la limite, on peut aussi factoriser q² - p² pour voir plus rapidement que des solutions, y'en a pas des masses . . .

[PsychoEnder]

Pour q²-p²=1
donc q=1 et p=0
et j'ai pas trouvé les solutions de q²-p²=2
Pouvez vous m'aider?

[Ben314]

Les carrés d'entiers, c'est 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, . . . où l'écart entre deux carrés successifs ne cesse d'augmenter, plus précisément pour .
Donc s'il existe des écart entre deux carrés égaux à 1 ou 2, ben ça peut être uniquement entre les deux premiers carrés à et 1 et effectivement l'écart vaut 1. Mais c'est la seule solution.

[Maxymyze]

n/(n+2) = p²/q² (égalité E)
<=> n(q² - p²) = 2p²
Donc -np² = 2p² (mod. q²)
p² est premier avec q² donc simplifiable
et donc n=-2 (mod. q²)
Autrement dit q² divise n+2.
Donc p² divise n (à cause de l'égalité (E))
Donc il existe deux entiers k et k' tels que
kp² = n
k'q² = n+2
(E) => (k = k') (Le quotient des premiers membres étant égal à celui des seconds membres)
Donc q² - p² = 2/k
donc k = 1 ou 2
Donc q² - p² = 1 ou 2
(Impossible.)

[Maxymyze]

Dans l'égalité (E), p et q sont évidemment à prendre premiers entre eux.

[Bounit]

On remarque racine(n/n+2)=racine(n^2+n)/n+2 donc il suffit de montrer que racine(n^2+n) est irrationnelle on utulise l'absurde et indication suivant n^2<n^2+n<(n+1)^2