Comment montrer que cette expression n'appartient pas à N

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Jibrilarto
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comment montrer que cette expression n'appartient pas à N

par Jibrilarto » 08 Nov 2019, 22:29

salut, je dois montrer que (x²+y²)/(x²-y²), avec a et b des entiers et a>b
premièrement j'ai vu a<b et j'ai directement fait que l'ecriture est négative, puis j'ai réalisé :gene: ,
alors que dois je faire? je n'ai aucune idée, merci en avance



LB2
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Re: comment montrer que cette expression n'appartient pas à

par LB2 » 08 Nov 2019, 23:59

Jibrilarto a écrit:salut, je dois montrer que (x²+y²)/(x²-y²), avec a et b des entiers et a>b
premièrement j'ai vu a<b et j'ai directement fait que l'ecriture est négative, puis j'ai réalisé :gene: ,
alors que dois je faire? je n'ai aucune idée, merci en avance


Deux problèmes dans ton énoncé :

- à la place de ce que tu dois montrer, tu as écrit une expression, pas une proposition (donc pas de valeur de vérité...)
- les variables a et b n'apparaissent pas et il manque les quantificateurs

donc, problème (très) mal posé pour le moment

Jibrilarto
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Re: comment montrer que cette expression n'appartient pas à

par Jibrilarto » 09 Nov 2019, 00:42

Je ne peux pas modifier le message, mais on doit montrer que l'expression (x²+y²)/(x²-y²) n'appartient pas a N, et c'est x et y des entiers avec x>y, désolé je n'ai pas fait attention

aymanemaysae
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Re: comment montrer que cette expression n'appartient pas à

par aymanemaysae » 09 Nov 2019, 15:03

Bonjour ;

Jibrilarto a écrit:Je ne peux pas modifier le message, mais on doit montrer que l'expression (x²+y²)/(x²-y²) n'appartient pas a N, et c'est x et y des entiers avec x>y>0, désolé je n'ai pas fait attention


Tu dois aussi mentionner que x > y > 0 , car si y = 0 alors on aura pour tout x appartenant à IN * : (x² + 0²)/(x² - 0²)
= x²/x² = 1 qui appartient à IN .

Voici un chemin à suivre : (x² + y²)/(x² - y²) = (x² - y² + 2y²)/(x² - y²) = 1 + 2y²/(x² - y²) .
Tu notes ensuite d le PGCD(x ; y) , donc tu auras : x = dX ; y = dY avec X et Y des nombres entiers naturels non nuls premiers entre-eux , ce qui t’amènes à l'expression suivantes : (x² + y²)/(x² - y²) = 1 + 2Y²/(X² - Y²) .

Pour conclure , tu noteras u le PGDC(Y² ; X² - Y²) qui te donneras : Y² = uA ; X² - Y² = uB avec A et B des nombres entiers naturels non nuls premiers entre_eux .

Tu as la méthode à utiliser , tu as toutes les données nécessaires , alors à toi maintenant de conclure .

aymanemaysae
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Re: comment montrer que cette expression n'appartient pas à

par aymanemaysae » 10 Nov 2019, 12:44

Voici un autre chemin .

Supposons que pour pour un certain couple (x ; y) on a (x² +y²)/(x² - y²) est un nombre entier naturel ;
donc il existe n un nombre entier naturel tel que : (x² + y²)/(x² - y²) = n ; donc : 1 + 2y²/(x² - y²) = n ;
donc : 2y²/(x² - y²) = n - 1 ; donc : 2y² = (n - 1)x² - (n - 1)y² ; donc : (n + 1)y² = (n - 1)x² ; donc si n - 1 > 0
alors n + 1 et n - 1 sont des carrés parfaits ; donc il existe un couple de nombres entiers naturels (a ; b)
avec a > b tels que n + 1 = a² et n - 1 = b² .

Je m'arrête là et je te laisse continuer .

fastandmaths
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Re: comment montrer que cette expression n'appartient pas à

par fastandmaths » 10 Nov 2019, 18:51

Bonjour ,

Je trouve très intéressant de proposer un raisonnement par l'absurde en y mêlant la parité dans le seul but d'aboutir à une contradiction , ici on suppose dèja : , tq:


je pense qu'il faut aussi se mettre en tête que et


fastandmaths
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Re: comment montrer que cette expression n'appartient pas à

par fastandmaths » 10 Nov 2019, 19:33

sinon il y a aussi un chemin très intéressant en raisonnant également par l'absurde :
On suppose qu'il tel que

( p diff de1)


on pose avc

donc
on peut relever l'absurdité car on sait que et sont dans , de ce fait le quotient
donc c'est absurde . j'ai dèja vu ce machin là quelques part sur ce forum (je crois que c 'est (gabuzomeu) qu'il a donné des explication

Donc voilà l'idée maintenant faut être plus rigoureux dans le raisonnement ..

 

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