Un dm qui pose problème terminale S

[ludo74]

Rebonjour à tous
j'ai un dm a faire pour la rentrée et bien sur étant très optimiste sur la difficulté de la chose je me penche sur le sujet 4 jours avant la date pour laquelle on doit rendre le travail... :marteau:

Voila l'intitulé

Partie B

1. On considère la suite (Un) définie sur N par:
et pour tout naturel n,

a. montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un>0.
b. Montrer que le suite (Un) est décroissante.
c. En déduire que la suite est convergente. On admettra que

2. on considere la suite (Wn) définie sur N par: Wn=ln Un;
a. Montrer que pour tout entier naturel, on a: U_{n}=W_{n}-W_{n+1}
b. On pose S_{n}=U_{0}+U_{1}+......+U_{n}
Exprimer Sn en fonction de Wo et Wn+1
c. en deduire

donc mon probleme est que je plante (lamentablement je l'avoue) sur les deux premieres questions ce qui me bloque pour la suite si vous pouviez me donner un petit coup de pouce je vous en serait très reconnaissant

merci d'avance

L

[neuneu]

Pour la 1ère question tu dois utiliser le fait que l'exponentielle est toujours strictement supérieur à 0

[ludo74]

oui mais je dois le montrer par recurrence donc bien que l'exponentielle soit toujours positive ça ne me permet pas dele demontrer par recurrence ou alors je vois pas le raisonnement (c'est peut etre plutot ça d'ailleurs...)
pourrais tu m'expliquer ton raisonnement plus precisement merci de ton aide
L

[neuneu]

Pour le rang initial je pense qu'il n'y a pas de problème.
Tu supposes que c'est vrai au rang n , c'est à dire que Un>0, et tu veux montrer que c'est vrai au rang n+1
or Un+1 = Un * exp(-Un) tu sais que Un >0 et que quelque soit x appartenant à R, exp(x)>0 donc exp(-Un)>0 donc Un*exp(-Un)>0 donc Un+1 >0
et la propriété est vraie au rang n+1

désolé ce n'est pas très bien rédigé mais c'est l'idée

[ludo74]

Ah mais c'est bien sur, j'ai tout compris pour cette question merci de ton aide par contre pour la 2 je suppose qu'il faut prouver que Un+1>Un+2 mais j'ai deja fait des demonstrations au brouillon et je n'arrive a rien de très concluant aurais tu une idée??

encore merci de ton aide

L

[neuneu]

Je ne suis pas très sure de moi mais
Un+1 - Un = Un * exp(-Un) - Un = Un*(exp(-Un) -1)
on sait que Un >0 donc -Un<0 donc comme la fonction exponentielle est strictement croissante exp(-Un) < exp(0)=1 donc exp(-Un)-1<0
donc Un * (exp(-Un)-1)<0
donc Un+1 - Un <0
donc la suite est décroissante

[ludo74]

Tu es trop modeste ta demonstration me parait tout a fait juste et grace a toi j'ai tout compris merci beaucoup de ton aide

[ludo74]

Pour dire qu'elle est convergente on dit:

Un tend vers 0 en plus l'infini (énoncé)et de plus elle est décroissante donc la suite Un est convergente en 0 en plus l'infini

cela te parait il correct comme rédaction ??

[neuneu]

Je ne suis pas sure que ce que tu dis soit juste ( je parle au niveau de la rédaction)
Mais je pense que tu peux dire que comme la suite (Un) est décroissante et minorée (par 0) alors elle converge

[ludo74]

ok j'ai revu la redaction je pense avoir compris par contre pour l'avant derniere question j'ai simplement remplace les Un par les Wn correspondant qrace a la relation trouve avant mais je ne vois pas comment je peux en deduire la limite aurais tu une idée

en tout cas merci je serais pas aller loin sans toi