Questions de cours : équations ax+by=c

[Dinozzo13]

Bonsoir, j'ai quelque question sur la méthode de résolution d'une équation diophantienne de la forme .
1°) , et appartiennent-ils nécessairement à ?
2°) lorsque le pgcd des coefficient et ne divise pas le terme constant , ?
3°) Quand on doit diviser les coefficients de l'ééquation par , pour former l'équation équivalente , quel est la conséquence si et ne sont premeirs entre eux ?

[Dinozzo13]

J'ai 3 équation à résoudre dans je ne sais quel ensemble :we: , j'aimerais savoir si tout va bien ^^ :
1°) 65x+104y=26
Soit d=PGCD(65,104) :
104=65x1+39
65=39x1+26
39=26x1+13
26=13x2
d divise 26 donc .
Il y a une solution évidente : .
Par conséquent .
2°) 56x-21y=105
Soit d=PGCD(56,21) :
56=21x2+14
21=14x1+7
14=7x2
d divise 105 donc .
Il y a une solution évidente : .
Par conséquent .
3°) 14x+20y=7
Soit d=PGCD(14,20)=2, d ne divise pas 7 donc

[Timothé Lefebvre]

Yo :zen:

Définition d'une équation diophantienne : on appelle équation diophantienne une équation dont les inconnues sont des entiers :id:

[Dinozzo13]

ouaip, j'avais un doute ; et en ce qui concerne le reste ?

[Timothé Lefebvre]

Aucune idée, mon cerveau est saturé de rédac' de français à l'heure actuelle !
Seules quelques brides de définitions mathématiques parviennent à sortir du labyrinthe, tu as déjà beaucoup de chance :D

[Dinozzo13]

J'espère que tu pourras m'aider demain ; :doh: t'avais cours aujourd'hui ?

[Timothé Lefebvre]

Nan nan :D
Enfin juste JAPD quoi :lol: (cf. topi flood)

C'est un devoir pour la rentrée.

[Dinozzo13]

Ah ok, bon allé bonne nuit, je vais me coucher pour reprendre le bon rythme, avant la rentrée :dodo:

[Timothé Lefebvre]

Je m'en vais terminer cette rédac' :/

Bonne nuit :)

[Dinozzo13]

De même.
(+ que deux jours, oh non :--: )

[Dinozzo13]

Vous ne pouvez vraiment pas m'aider ?

[benekire2]

J'ai 3 équation à résoudre dans je ne sais quel ensemble :we: , j'aimerais savoir si tout va bien ^^ :
1°) 65x+104y=26
Soit d=PGCD(65,104) :
104=65x1+39
65=39x1+26
39=26x1+13
26=13x2
d divise 26 donc .
Il y a une solution évidente : .
Par conséquent .
2°) 56x-21y=105
Soit d=PGCD(56,21) :
56=21x2+14
21=14x1+7
14=7x2
d divise 105 donc .
Il y a une solution évidente : .
Par conséquent .
3°) 14x+20y=7
Soit d=PGCD(14,20)=2, d ne divise pas 7 donc

Ici tout me parait bon.

[Dinozzo13]

ouf, heureusement que t'es là, je commençais à désespérer.
Dis moi, dans la résolution de ce genre d'équation, n'y aurait-il pas des cas particulier, des pièges ?
As-tu des exemples, merci ^^

[benekire2]

regarde,http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne_ax%2Bby_%3D_c c'est pas magnifique ??

[benekire2]

tu me dit si c'est ton bonheur mais rapidement il y a arqué, si c n'est pas multiple de d alors l'équation n'a pas de solutions.

[Dinozzo13]

A propos des congruences, résoudre c'est résoudre
ax + by = 1, non ?
Pourrais-tu m'expliquer ce paragraphe :
La résolution de l'équation ax + by = 1, où a et b sont premiers entre eux, permet de trouver un inverse à a modulo b, c'est-à-dire un entier x tel que .L'ensemble des solutions permet de dire qu'il existe une unique classe x tel que ax=1 dans . En effet, parmi les couples solutions, tous les entiers x sont congrus modulo b.

[benekire2]

Je peut rien te promettre, mais je vais regarder et tenter une explication.

[benekire2]

Euh en fait c'est un article qui traite le sujet et qu'es pas niveau Term S tout le long, alors j'ai pas tout capté (je suis en Première)
Alors si quelqu'un a une explication je suis également preneur!

[Dinozzo13]

ah oui, t'es déjà en avance pour ton niveau, tu fais option maths ?

[benekire2]

ah oui, t'es déjà en avance pour ton niveau, tu fais option maths ?

En première y a pas option math!! Mais oui en Terminale je prendrais spé math, puis licence de math ( comme toi je présume)