Question de somme

[lasaid]

Salut everybody ,
J'ai ici un petit exos qui me tourmente :cry: , l'énnoncé est comme suit :
Montrez que quelque soit n appartenant à N : 1+1/2+1/3+1/4+1/5+......+1/n n'appartient pas à N .
et A + :zen:

[lasaid]

Salut ,
Ce que je voudrais ajouter c'est que - je suppose qu'ils l'ont simplement oublié - il faut préciser que n est supérieure ou égal à 2 .
A+

[Chimerade]

Salut everybody ,
J'ai ici un petit exos qui me tourmente , l'énnoncé est comme suit :
Montrez que quelque soit n appartenant à N : 1+1/2+1/3+1/4+1/5+......+1/n n'appartient pas à N .
et A + :zen:

Amusant !

Soit la plus grand puissance de 2 qui soit inférieure ou égale à n :

Dans la somme 1/2+1/3+1/4+...+1/n examinons les dénominateurs : observons qu'il n'y a qu'un seul dénominateur qui soit facteur de . En effet, le plus petit facteur de est soit et ce nombre est plus grand que n ! Par conséquent pour i=2 à n, i est en facteur au maximum de à l'exception de l'unique cas . Dans la réduction au même dénominateur de cette somme de fractions, on choisira comme dénominateur commun un nombre de type , F étant un impair, et on aura une somme du type :

Les étant des nombres impairs
Parmi ces facteurs , un seul d'entre eux : aura son exposant de 2, égal à 0, tous les autres ayant un exposant de 2, au moins égal à 1. Par conséquent, le numérateur sera :

Comme est un nombre impair, le numérateur sera donc impair et il sera impossible de simplifier par 2. Le plus petit exposant possible pour 2 au dénominateur est donc k. La fraction n'est pas simplifiable en un entier !