Question dans l'arithmethiques dans Z

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zerow2001
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question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 03:15

Bonsoir mes ami(e)s !
je me suis bloqué dans une question après plusieurs essaies
la question : Montrez que est divisible par 12 pour n appartient à n


j'ai essayé de faire (l'approbation répétée) je sais pas le mot exact en francais,
j'ai essayé aussi de faire :
Si a est divisible par 12 alors :
la question se transforme comme une question de paire ou impaire
alors :

et on sait que 3 nombres comme (4/5/6) sont divisible par 3 mais je crois que j'ai choisis une longue methode qui a plusieurs cas et compliqué parceque je me suis bloquée dans k/3 et j'ai besoin de faire le cas de n = 2k+1 .....
j'aimerais bien de m'aider dans ma methode ou bien une autre methode
Merci beaucoup d'avance[/quote]



infernaleur
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par infernaleur » 13 Fév 2019, 04:20

Salut,

une méthode (chiante mais qu'on utilisait beaucoup au lycée ) c'est de regarder tout les cas :
n = 0 mod (12)
n= 1 mod(12)
...(etc)
n=11 mod(12)
Tu peux parfois simplifier les calculs en remarquant que a=n²(n-1)(n+1), et en vrai avec un tableau ça se fait plutôt rapidement.


Sinon en suivant l'idée de ce que tu faisais, tu peux montrer que a est divisible par 4 en distinguant la cas n pair et n impaire assez facilement (surtout si te prend a=n²(n-1)(n+1)) et tu montre aussi que a est divisible par 3 donc finalement a est divisible par 12.

zerow2001
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 04:25

que signifie (mod) ? merci

zerow2001
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 04:28

et comment faire ce tableau svp

zerow2001
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 04:42

Merci j'ai fait l'exercice avec la methode de divisible par 3 et divisible par 4 et pour la divisibilité par 4 on fait les cas de 2k+1 et 2k
et pour montrez que n(n-1)(n+1), j'ai seulement utiliser la logique : 3 nombres dans In veut dire que l'un des eux est divisible par 3 (forcement) alors le produit est divisible par 3
example : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22..........) tu prends 3 nombres et forcement l'un d'eux est divisible par 3 (14,15,16 15 est divisible par 3)
(0,1,2 0 est divisible par 3).....
s'il ya une explication mathematiques, pouvez vous me l'expliquer ?

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Lostounet
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par Lostounet » 13 Fév 2019, 05:20

zerow2001 a écrit:Merci j'ai fait l'exercice avec la methode de divisible par 3 et divisible par 4 et pour la divisibilité par 4 on fait les cas de 2k+1 et 2k
et pour montrez que n(n-1)(n+1), j'ai seulement utiliser la logique : 3 nombres dans In veut dire que l'un des eux est divisible par 3 (forcement) alors le produit est divisible par 3
example : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22..........) tu prends 3 nombres et forcement l'un d'eux est divisible par 3 (14,15,16 15 est divisible par 3)
(0,1,2 0 est divisible par 3).....
s'il ya une explication mathematiques, pouvez vous me l'expliquer ?


Salut,

Pour reprendre un peu l'idée.

Tout d'abord, nous savons que le produit de trois entiers consécutifs est toujours multiple de 3. Pourquoi ? Si tu ne sais pas faire avec les modulos voici une autre méthode.

Nous savons que tout entier naturel N s'écrit sous la forme N=3q +R (avec 0<=R<3)
Ceci est le théorème de division euclidienne.
Donc: N(N-1)(N+1)= (3q+R)(3q+R-1)(3q+R+1)

Si on développe tout on trouve:
= 27 q^3 + 27 q^2 R + 9 q R^2 - 3 q + R^3 - R
= 3(9q^3+9q^2R+3qR^2-q) + R^3-R

Ceci est toujours un multiple de 3. En effet, si R=0 c'est OK car R^3-R=0
Si R=1, R^3-R=0 donc ok
Si R=2, R^3-R= 6 donc on a bien aussi un multiple de 3.


Donc le nombre n^2(n+1)(n-1) est multiple de 3 car il est multiple de n(n+1)(n-1).

Justifions qu'il est aussi multiple de 4.


Si n est pair, alors n=2k et donc n^2=4k^2 donc n^2(n+1)(n-1) est multiple de 4.


Si n est impair, alors n= 2k+1
Mais alors (n-1)(n+1)= 2k(2k+2)=4k(k+1) ce qui signifie que n^2(n+1)(n-1) est multiple de 4 .


Dans tous les cas ce nombre est multiple de 4.
Il est toujours multiple de 3.
Donc de 12...
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 05:25

C'est bien expliqué M.Loustouanet, j'ai fait la meme chose dans ma copie.
Pouvez vous me corriger un autre exercice que j'ai fait ?

zerow2001
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 06:28

une remarque : dans la divisibilité par 4, pourquoi on a pris seulement 2k et 2k+1 (paire/impaire) et nous avons pas pris les cas :
4k
4k+1
4k+2
4k+3
?

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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par Lostounet » 13 Fév 2019, 13:30

zerow2001 a écrit:une remarque : dans la divisibilité par 4, pourquoi on a pris seulement 2k et 2k+1 (paire/impaire) et nous avons pas pris les cas :
4k
4k+1
4k+2
4k+3
?


Malheureusement ici tu n'as pas le produit de 4 entiers consécutifs ! Tu as juste n*n(n-1)(n+1)
Et pas n(n-1)(n+1)(n+2) par exemple ... Donc tu ne peux pas vite conclure.

Bien sûr tu peux essayer aussi de faire comme N=4k + R et calculer le produit. Mais c'est bcp plus facile de distinguer deux cas de parité ici (car on le voit vite!).

Sinon je vois que tu connais les modulos !
Tu pouvais les utiliser dès le début sans passer par une division euclidienne explicite... Tu traites les 12 cas simplement dans un petit tableau et c'est fini.
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 13:33

comment utuliser les modulos + est ce que c'est suffisante de conclure que un nombre est multiple de 12 s'il est multiple de 4 et multiple de 3 ? est ce qu'il y a une demonstration ?
merci

zerow2001
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 13:33

comment utiliser les modulos dans ce cas*

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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par Lostounet » 13 Fév 2019, 13:42

zerow2001 a écrit:comment utuliser les modulos + est ce que c'est suffisante de conclure que un nombre est multiple de 12 s'il est multiple de 4 et multiple de 3 ? est ce qu'il y a une demonstration ?
merci


Si un nombre est multiple de 3 et de 4, vu que 3 et 4 sont premiers entre eux alors le nombre est multiple de 12 forcément... Si tu veux une petite preuve:

Si N=3k et N=4p
Alors N-N=3k-4p donc 3k=4p
D'après le lemme de Gauss comme 3 divise 4p et 3 ne divise pas 4 (premiers entre eux) alors 3 divise p.
Donc p=3q

N=4p=4(3 q) = 12 q


Ensuite pour les modulos c'est très facile...
Si n=0 [mod 12] tu calcules n^2(n-1)(n+1) mod 12
Si n=1 mod 12 tu calcules n^2(n-1)(n+1) mod 12...
Etc....

Tu trouveras toujours 0 donc quel que soit n on a bien n^2(n-1)(n+1) multiple de 12.
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Re: question dans l'arithmethiques dans Z

par zerow2001 » 13 Fév 2019, 14:00

Oui, j'ai bien compris maintenant, merci beaucoup !

 

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