zerow2001 a écrit:Merci j'ai fait l'exercice avec la methode de divisible par 3 et divisible par 4 et pour la divisibilité par 4 on fait les cas de 2k+1 et 2k
et pour montrez que n(n-1)(n+1), j'ai seulement utiliser la logique : 3 nombres dans In veut dire que l'un des eux est divisible par 3 (forcement) alors le produit est divisible par 3
example : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22..........) tu prends 3 nombres et forcement l'un d'eux est divisible par 3 (14,15,16 15 est divisible par 3)
(0,1,2 0 est divisible par 3).....
s'il ya une explication mathematiques, pouvez vous me l'expliquer ?
Salut,
Pour reprendre un peu l'idée.
Tout d'abord, nous savons que le produit de trois entiers consécutifs est toujours multiple de 3. Pourquoi ? Si tu ne sais pas faire avec les modulos voici une autre méthode.
Nous savons que tout entier naturel N s'écrit sous la forme N=3q +R (avec 0<=R<3)
Ceci est le théorème de division euclidienne.
Donc: N(N-1)(N+1)= (3q+R)(3q+R-1)(3q+R+1)
Si on développe tout on trouve:
= 27 q^3 + 27 q^2 R + 9 q R^2 - 3 q + R^3 - R
= 3(9q^3+9q^2R+3qR^2-q) + R^3-R
Ceci est toujours un multiple de 3. En effet, si R=0 c'est OK car R^3-R=0
Si R=1, R^3-R=0 donc ok
Si R=2, R^3-R= 6 donc on a bien aussi un multiple de 3.
Donc le nombre n^2(n+1)(n-1) est multiple de 3 car il est multiple de n(n+1)(n-1).
Justifions qu'il est aussi multiple de 4.
Si n est pair, alors n=2k et donc n^2=4k^2 donc n^2(n+1)(n-1) est multiple de 4.
Si n est impair, alors n= 2k+1
Mais alors (n-1)(n+1)= 2k(2k+2)=4k(k+1) ce qui signifie que n^2(n+1)(n-1) est multiple de 4 .
Dans tous les cas ce nombre est multiple de 4.
Il est toujours multiple de 3.
Donc de 12...
