Question de cours, nombres complexes.

[slavik]

Bonsoir,

Je suis entraine de réviser ma leçon sur les nombres complexes ainsi que faire quelques exercices de bases.
En faisant un exo de "Exos résolus" je ne comprend pas leur méthode dans la correction.
Par exemple:
Il faut détérminer et construire l'ensemble E des points M dont l'affixe z vérifie la condition proposée.

1) |z+1+2i|=|z-4|
Là où je remplace z par sa forme littérale et j'en arrive à la conclusion que (E) est une droite d'equation(je me souvient plus exactement laquelle), eux utilisent une autre méthode.

Ils considèrent A et B deux points d'affixes réspéctives -1-2i et 4.
Et en considérant qu'on a |z+1+2i|=|z-4| ils disent que cela revient à écrire que
AM=BM, (E) est donc la médiatrice du segment [AB].

Voila je comprends pas leur chéminement, mais je ne comprends pas pourquoi ils ont le droit de considérer deux points comme ca qui sortent de nulle part, et d'affirmer une chose pareille.
Quelle propriété leur permet ca?

Merci de vos réponses.

PS:

Ils font de même avec |z-3i|=2
Ils considèrent un point A d'affixe 3i, donc (E) est un cercle de centre A et de rayon 2.

[Nightmare]

Salut,

Tu as dû déjà voir que les complexes pouvaient être vu comme des points du plan : le complexe a+ib c'est le point du plan de coordonnées (a,b). Alors, |z-z'| pour deux complexes z et z' correspond à la distance entre le point d'affixe z et le point d'affixe z'. D'où le raisonnement.

[Sh0nty]

Bonjour slavik,

Soit M(z) et A(a), alors :
z - a est l'affixe du vecteur .
Donc |z-a| = = AM, d'après la définition du module.

Dans ton exercice, tu as :
|z+1+2i|=|z-4| |z-(-1-2i)|=|z-4| |z-a| = |z-b| avec a = -1-2i et b = 4.
Soit A(-1-2i) et B(4), on a donc :
|z-a| = |z-b| = AM = BM

Donc M est sur la médiatrice de [AB]

Sh0nty

[Sa Majesté]

J'ajoute qu'il y a souvent plusieurs façons de faire un exo en complexe et notamment une façon analytique et une façon géométrique.
Mais au final on trouve le même résultat.
Tu dis que tu as trouvé l'équation d'une droite et que la résolution dit que l'ensemble recherché est la médiatrice du segment [AB].
Je parie que l'équation que tu as trouvée est celle de la médiatrice du segment [AB].

[slavik]

Salut,

Tu as dû déjà voir que les complexes pouvaient être vu comme des points du plan : le complexe a+ib c'est le point du plan de coordonnées (a,b). Alors, |z-z'| pour deux complexes z et z' correspond à la distance entre le point d'affixe z et le point d'affixe z'. D'où le raisonnement.

Ah, donc en anullant le module on détermine la distane qui sépare les points M et le point A, dont l'affixe permet d'annuler le module?
Esct-ce qué je me suis exprimé correctement? Est ce que j'ai compris?

[slavik]

J'ajoute qu'il y a souvent plusieurs façons de faire un exo en complexe et notamment une façon analytique et une façon géométrique.
Mais au final on trouve le même résultat.
Tu dis que tu as trouvé l'équation d'une droite et que la résolution dit que l'ensemble recherché est la médiatrice du segment [AB].
Je parie que l'équation que tu as trouvée est celle de la médiatrice du segment [AB].

Oui exactement, mais j'aimerais enregistrer toutes les méthodes efficaces et possibles. C'est très utile pour l'ouverture d'ésprit en math, je considère.

[Sh0nty]

Il faut raisonner de même pour la suite :
Soit M(z) et A(a),
|z-a| = r <=> AM = r
A étant un point fixé, on en déduit que l'ensemble solution est l'ensemble des points M tel que la distance AM soit constante et égale à r.
Donc les points M sont sur le cercle de centre A et de rayon r.
L'ensemble solution est donc ce cercle.

Sh0nty

[slavik]

Bonjour slavik,

Soit M(z) et A(a), alors :
z - a est l'affixe du vecteur .
Donc |z-a| = = AM, d'après la définition du module.

Dans ton exercice, tu as :
|z+1+2i|=|z-4| |z-(-1-2i)|=|z-4| |z-a| = |z-b| avec a = -1-2i et b = 4.
Soit A(-1-2i) et B(4), on a donc :
|z-a| = |z-b| = AM = BM

Donc M est sur la médiatrice de [AB]

Sh0nty

Ah d'accord.
MAis comment on justifie le fait de choisir les points A et B et leurs affixes respéctives?
C'est surtout la rédaction que je comprends pas, graphiquement et logiquement pas de problème.

[Sh0nty]

Ah d'accord.
MAis comment on justifie le fait de choisir les points A et B et leurs affixes respéctives?
.

Tu sais que si M(z) et A(a), alors |z-a| = AM.
Pour la rédaction, tu fais comme j'ai fait dans mon premier post :
Pour |z + 1 + 2i|, tu dois le mettre sous la forme |z-a|, donc tu explicites cette forme :
|z+1+2i| = |z - (-1-2i)|
Ensuite tu introduis le point A d'affixe -1-2i, et tu dis que z-(-1-2i) est l'affixe du vecteur et donc que |z+1+2i| = AM

Sh0nty

[slavik]

Tu sais que si M(z) et A(a), alors |z-a| = AM.
Pour la rédaction, tu fais comme j'ait fait dans mon premier post :
Pour |z + 1 + 2i|, tu dois le mettre sous la forme |z-a|, donc tu explicites cette forme :
|z+1+2i| = |z - (-1-2i)|
Ensuite tu introduis le point A d'affixe -1-2i, et tu dis que z-(-1-2i) est l'affixe du vecteur et donc que |z+1+2i| = AM

Sh0nty

Merci c'est bon j'ai compris merci beaucoup!!!