Pyramide d'oranges

[kenymi]

Bonjour,

On arrange 2007 oranges en pyramide de la façon suivante :
0000
000
00
0

Au sommet (1ere ligne) : 1 orange
2 ème ligne : 2 oranges
3 ème ligne : 3 oranges
....

Combien y-a-t-il d'oranges sur la dernière ligne ?
ET si on recommence avec 100 000 oranges ?

[zygomatique]

salut

combien as-tu d'orange avec les n premières lignes ?

[kelthuzad]

Salut,

Si on additionne toutes les oranges lorsqu'il y a n lignes on a N oranges :



Que vaut n si N = 2007 ?

Que vaut n si N = 100 000 ?

[kenymi]

Pour les 3 premières lignes : 6
4 premières : 10
5 premières :15
....?

[kelthuzad]

Salut,

Si on additionne toutes les oranges lorsqu'il y a n lignes on a N oranges :



Que vaut n si N = 2007 ?

Que vaut n si N = 100 000 ?

(Il y a n oranges sur la nème ligne)

On cherche n.

Edit: comme ça ne tombe pas juste, la partie entière du n trouvée correspond au nombre d'oranges sur l'avant dernière ligne (la dernière ligne n'étant pas complète). Recalcule le nombre d'oranges sans la dernière ligne :



Puis faire

[kenymi]

Ah oui :) Je me suis trompée mais maintenant je trouve 412.! Comment avez vous fait ?

[kelthuzad]

Comme on trouve un n pas entier. C'est qu'avec 2007 oranges on ne peut pas faire une jolie pyramide ! La dernière ligne n'est pas complète, il y a un reste.

Pour calculer le nombre d'oranges sans s'occuper de ce reste, on réapplique la formule mais cette fois on cherche non pas n mais N le nombre total d'oranges (sauf dernière ligne) en utilisant la partie entière de n.

La plus grande pyramide qu'on peut faire avec 2007 oranges c'est bien avec n_entier lignes... On retrouve N que j'ai noté N_2
Toutes les oranges moins N_2 correspond bien au nombre d'oranges sur la dernière ligne ; la ligne incomplète.

Edit: on est d'accord que la partie entière de 5,8 est 5 par exemple.

[kelthuzad]

0
00
000
0000
00000
000000
0000000
0000

Dans cet exemple il y a 8 lignes dont 7 parfaites pour une pyramide. Lorsqu'on cherche n en connaissant N (N : nombre total d'oranges) qui vaut ici 32 on trouve environ n = 7,5.
Pour trouver 7,5 on résout :



Ainsi on sait qu'on peut faire une pyramide complète avec 7 lignes d'oranges et que la 8ème ligne est incomplète, on cherche le nombre d'oranges pour cette pyramide complète (càd sans le nombre d'oranges sur la dernière ligne incomplète) avec la formule de mon premier post on trouve :



Ainsi la dernière ligne c'est 32 - 28 = 4 oranges.

[kenymi]

D'accord ! J'ai trouvé pour 2007 oranges : 54 oranges sur la dernière ligne ?
Et pour 100 000 oranges : 75024 oranges ?

[kenymi]

D' accord ! Donc pour 2007 oranges : 54 oranges sur la dernière ligne ?
Et pour 100 000 oranges : 75024 sur la dernière ligne ?

[kelthuzad]

Re,

54 OK

75024 non on voit bien que c'est pas possible c'est les 3/4 de toutes les oranges lol alors qu'avec 100 000 il y en a des lignes...

Je trouve 319.

[kelthuzad]

On a

[kelthuzad]

Si je refais les étapes rapidement :





Une solution négative, il reste que



446 lignes forment une pyramide + une ligne incomplète.



Nombre d'oranges sur la dernière ligne :

[kenymi]

Ah oui d'accord !!!! Merci beaucoup !!! Et désolée pour ma nullité ^^

[kelthuzad]

T'es loin d'être nul a+

[kenymi]

Merci :D Mais il y a encore un passage que je n'ai pas très bien compris :
Comment êtes-vous passer de n^2+n-200000=0 à n=(-1+;)800001)/2=446,7 ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Merci Mais il y a encore un passage que je n'ai pas très bien compris :
Comment êtes-vous passer de n^2+n-200000=0 à n=(-1+;)800001)/2=446,7 ?

En fait, on résoud pour , l'équation .
On calcule le discriminant \Delta et on en déduit une unique solution .
Maintenant, dans notre problème on n'a pas un mais un entier , donc ...

:+++:

[kelthuzad]

Une des solutions est négative il ne reste que celle ci :



Un rappel ici de comment résoudre ax² + bx + c = 0

http://fr.wikipedia.org/wiki/Discriminant