Puissance de 7

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 13:17

Bonjour,je n'arrive pas à comprendre un exercice, pourriez-vous m'aider, merci.
On me demande quel est le dernier chiffre de

?
J'ai une correction brève de l'exercice:

est impair donc

et

.

par **egan** » 04 Juil 2009, 18:16

Tu mets 7 à la puissance 7, tu simplifies la congruence modulo 10 et tu répètes comme ça ainsi du suite et ça passe normalement.

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 19:06

je ne comprends pas :triste: , il faut faire

et après ?

par **egan** » 04 Juil 2009, 19:11

Oui voilà tu fais comme ça. Regarde combien 7^7 fait à la calculette. 7^7 est congru à 3 modulo 10. Donc tu poses 7^7 congru à 3 modulo 10 et tu repasses tout à la puissance 7 et ainsi de suite.
Par contre, j'avoue que je ne comprends pas non plus la correction.

par **emdro** » 04 Juil 2009, 19:23

Bonjour,

on remet les idées dans l'ordre:

donc:
*

lorsque k est pair;
*

lorsque k est impair.

Comme

est impair, alors

.

C'est à dire que

.

Donc

.

Or il a été dit que

donc

.

Et enfin

.

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 19:26

bonjour, comment sais-tu que

est impair ?

par **egan** » 04 Juil 2009, 19:46

Quand tu multiplies deux nombres impaires, le produit est impaire.
Donc 7*7*7*7*7*7*7 est impaire et de même (7^7)^7 est impaire et ainsi de suite.

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 19:49

Oui en effet :ptdr: , j'étais juste en train m'en rappeler ^^. petite question, pourquoi passe-t-on d'une congruence modulo 4 à une congruence modulo 10 ?

par **emdro** » 04 Juil 2009, 19:49

Les nombres pairs sont ceux qui sont divisibles par 2.
Quelle est la décomposition en facteurs premiers de

?

Y vois-tu un 2?

Autre méthode: pour tout nombre impair k, k est congru à 1 modulo 2.
Donc

est congru à

modulo 2. Les puissances de nombres impairs sont impaires!

par **egan** » 04 Juil 2009, 19:50

On utilise la congruence modulo 4 pour avoir le 7^4 qui est congru à 1 modulo 10.

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 19:51

oui, oui, j'avais vu ^^. Merci pour ta généralité des puissances de nombres impairs :ptdr: ,

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 19:53

Et alors ? Est-ce que ça a une importance d'utiliser la congruence modulo 4 pour avoir

, si oui, je ne voie pas laquelle ?

par **egan** » 04 Juil 2009, 20:05

7^7k=7^(3+4u)=7^3*7^(4u)
7^7k est le nombre qui t'interresse. 7^(4u) est congru à 1 modulo 10 donc 7^(7k) est congru à 7^3 modulo 10.

par **Dinozzo13** » 04 Juil 2009, 20:06

ok, je vais regarder tout ça en détail, merci de votre aide ^^.

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