Puissance x

[Carpate]

Par l'étude des variations de
La dérivée de est

Edit :
Pour aucun point de contact entre et x
Pour , un seul point de contact

[Carpate]

Je sais déjà que :
Si n0)=0
Si 0<n;)1, i(x) coupe f(x) en un point A (xa,i(xa)) où xa=i(xa)

Si 1<n<m, i(x) coupe f(x) en deux points B (xb,i(xb)) où xb=i(xb) et xb tend vers 1 quand n tend vers 1 et C (xc,i(xc)) où xc=i(xc) et xc tend vers +;) quand n tend vers 1
Si m<n<+;), i(x) ne coupe f(x) en aucun point.

Mais comme dit dans l'énoncé, je cherche une manière précise de trouver ce m...

Je n'avais pas vu l'allure des courbes avec
Effectivement il y a une valeur limite de au-delà de laquelle les courbes de et ne se coupent plus.

[Carpate]

Je n'avais pas vu correctement l'allure des courbes d'équations et avec
Effectivement il y a une valeur limite de au-delà de laquelle les courbes de et ne se coupent plus.

Calculons cette valeur
représente l'écart entre ces 2 courbes

On montre facilement que est monotone croissante sur R et coupe l'axe des abscisses en un point unique d'abscisse

décroît sur puis croît sur
passe par un minimum

Pour que les 2 courbes ne se coupent plus il suffit que ) soit supérieur à 0
Calculons la valeur limite de a : correspondante :
pour

soit soit environ 1,4446 ce qu'on vérifie bien en traçant les courbes pour différentes valeurs de a ...

[sylvainc2]

On peut procéder autrement: pour trouver les solutions de x=a^x on peut utiliser la fonction W de Lambert. L'équation se réécrit x=exp(x ln(a)), et a pour solution x = - W( -ln(a) ) / ln(a).

La fonction W(k) est réelle si k est réelle, et elle a:
- deux solutions réelles si -1/e <= k < 0
- une solution réelle si k >= 0
- 0 solution réelle autrement (si k < -1/e)

Donc pour une solution il faut: -ln(a)>=0 (mais en fait >0 à cause du dénominateur) donc 0 < a < 1.
Pour deux solutions il faut -1/e <= -ln(a) < 0 donc 1

[Carpate]

Je ne comprends toujours pas comment ce x0 a été trouvé...
Il est vrai que si on prend -ln(ln(a))/ln(a) comme x0, le raisonnement qui suit est logique et facile à comprendre. De plus qu'avec GéoGébra, on remarque que c'est bel et bien la solution mais je ne vois pas, en suivant le raisonnement de Carpate, comment on peut trouver ce fameux x0...

Je reprends : " f'_a(x) est monotone croissante sur R et coupe l'axe des abscisses en un point unique d'abscisse x_0=-\frac{ln(lna)}{lna}"

sur R
monotone croissante sur R
quand ,
quand ,
s'annule pour une valeur unique (TVI)


on prend le logarithme des 2 membres de l'expression

[paquito]

Alors, vous en pensez quoi ?

On peut aussi chercher pour quelles valeurs de x0 et de a y=a^x a pour tangente y=x. On retombe sur le même résultat, mais c'est quand même un exercice très difficile pour un élève de TS.

[paquito]

Alors, comment trouvez-vous les nouvelles questions ?

tu as trouvé un problème intéressant, mais un peu difficile à résoudre pour un élève de TS; mais c'est très bien et je t'encourage à te poser d'autres questions; c'est une démarche très matheuse!