[Produit Scalaire] Puissance d'un point par rapport à un cer

[abns2004]

Bonjour. Voici un exerci de math sur le quel je bloque sur certains points. Je voudrais vous donner mes reponses, et que vs m'aidiez pour les questions non reolus.

Merci d'avance.

Soit C un cercle de contre O et de rayon R>0. Soit M un point du plan et D, une droite passant par M et qui coupe C en A et B.

1)a)Demontrer que (en vecteurs) MA.MB=MA.MA' ou A' est le point de C diametralement opposé à A.
b)En déduire que (en vecteurs) MA.MB= (en valeurs) OM²-R².
Le nombre MA.MB ne dépend donc que de M et pas de al droite D choisie. On l'appelle puissance du point M par rapport à C. Notons le p(M)

2)Etudier le signe de p(M) en fonction de la position du point M.

3)Soit k un réel fixé. determiner Ck, lieu des points M tels que p(M)=k

4)C' est un cercle de contre O' et de rayon R'>0. On se propose de determiner le lieu L des points ayant la même puissance par rapport à C et C'.
a)Montrer que p(M)=p'(M) ssi (en vecteurs) IM.IO= (en valeurs) (R'²-R²)/4 ou I est le milieu de [OO']

b) en deduire la nature de L.

c)on suppose que C et C' se coupent en A et B. Demontrer que A et B sont des points de L. En déduire L.


Je vous donne tt de suite ce que j'ai trouvé

[abns2004]

1)a)MA.MB
=MA(MA'+A'B)
Or, AA'B est un triangle rectangle car [AA'] est un diametre du cercle C et que B est sur le cercle.
Donc MA.A'B=0
Dc MA.MB=MA.MA'

b)MA.MA'
=(MO+OA).(MO+OA')
=MO²+MO.OA'+OA.MO+OA.OA'
Or, OA.OA'=(-R²)
=MO²+MO(OA'+OA)-R²
Or, OA'+OA=0
=MO²-R²
=Om²-R²

2)La, je ne suis aps sur.

On sait que p(M)=MA.MB=OM²-R²

P(M) est négatif ssi OM²-R²0
OM>R et M est à l'exterieur du cercle.

3) Je n'ai pas du tout trouvé. Si vous pouviez m'aider.

4)a)p(M)=p'(M)
OM²-R²=O'M²-R'²
OM²-O'M²=R'²-R²
(OI+IM)²-(O'I+IM)²=R'²-R²
4IM.IO=R'²-R² (aprés calcul)
IM.IO=(R'²-R²)/4

b)Trouve pas.
c) Non plus



Alors ca serait bien que vous verifiez ce que j'ai trouvé et que vs m'aidiez pour le reste.
Merci beacoup :we:

[abns2004]

L'exercice est a faire pour demain. La question 3 est resolue, mais c'est les questions 4)b) et 4)c) qui posent probleme... :cry:

Un peu d'aide svp...

[fahr451]

bonjour

4b)

l ensemble cherché est une droite orthogonale à (OO') appelée axe radical
la relation est en vecteur
IM IO = k

cherchons N une solution particulière sur la droite O O'

IN IO = k cette fois les vecteurs se transforment en mesure algébrique donc

IN = k /IO solution unique

puis

IMIO = k ssi IMIO = IN IO (en vecteur ) donc ssi

NM IO = 0 donc ssi NM orthogonal à IO donc ssi M est sur la droite passant par N et orthogonal à IO

[abns2004]

Merci à toi :id:

J'ai trouvé la c) :we: